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13.在如圖甲所示的半徑為r的豎直圓柱形區(qū)域內,存在豎直向上的勻強磁場,磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt(k>0且為常量).

(1)將一由細導線構成的半徑為r、電阻為R0的導體圓環(huán)水平固定在上述磁場中,并使圓環(huán)中心與磁場區(qū)域的中心重合.求在T時間內導體圓環(huán)產生的焦耳熱;
(2)上述導體圓環(huán)之所以會產生電流是因為變化的磁場會在空間激發(fā)渦旋電場,該渦旋電場趨使導體內的自由電荷定向移動,形成電流.如圖乙所示,變化的磁場產生的渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中,其電場線是在水平面內的一系列沿順時針方向的同心圓(從上向下看),圓心與磁場區(qū)域的中心重合.同一條電場線上各點的場強大小相等.如圖丙所示,在磁場區(qū)域的水平面內固定一個內壁光滑的絕緣環(huán)形真空細管道,其內環(huán)半徑為r,管道中心與磁場區(qū)域的中心重合.細管道直徑遠小于r.某時刻,將管道內電荷量為q的帶正電小球由靜止釋放(小球的直徑略小于真空細管道的直徑),假設小球在運動過程中其電荷量保持不變,忽略小球受到的重力、小球運動時激發(fā)的磁場以及相對論效應.若小球由靜止經過一段時間加速,獲得動能Em,求小球在這段時間內在真空細管道內運動的圈數;
(3)若在真空細管道內部空間加有方向豎直向上的恒定勻強磁場,小球開始運動后經過時間t0,小球與環(huán)形真空細管道之間恰好沒有作用力,求在真空細管道內部所加磁場的磁感應強度的大�。�

分析 (1)根據法拉第電磁感應定律,結合閉合電路歐姆定律,及焦耳定律,即可求解;
(2)根據題意,求得渦旋電場,再確定電場力的大小,依據動能定理,從而求解運動的圈數;
(3)再由運動的合成與分解,結合運動學公式與牛頓第二定律,即可求解.

解答 解:(1)導體圓環(huán)內的磁通量發(fā)生變化,將產生感生電動勢,根據法拉第電磁感應定律,感生電動勢為:
E=t=BSt=πr2k
導體圓環(huán)內感生電流為:
I=ER0=πr2kR0
在T時間內導體圓環(huán)產生的焦耳熱為:
Q=I2R0T
解得:Q=Tπ2k2r4R0
(2)根據題意可知,磁場變化將在真空管道處產生渦旋電場,該電場的電場強度為:
E=E2πr=kr2
小球在該電場中受到電場力的作用,電場力的大小為:
F=Eq=kqr2
電場力的方向與真空管道相切,即與速度方向始終相同,小球將會被加速,動能變大.
設小球由靜止到其動能為Em的過程中,小球運動的路程為s,根據動能定理有:
Fs=Em
小球運動的圈數為:N=s2πr
解得:N=Emkqπr2
(3)小球的切向加速度大小為:a=Fm=kqr2m
由于小球沿速度方向受到大小恒定的電場力,所以經過時間t0,小球的速度大小v滿足:v=at0
小球沿管道做圓周運動,因為小球與管道之間沒有相互作用力,
所以,小球受到的洛倫茲力提供小球的向心力,設所加磁場的磁感應強度為B0,
則有:qvB0=mv2r
解得真空細管道內部所加磁場的磁感應強度的大小為:B0=12kt0;
答:(1)在T時間內導體圓環(huán)產生的焦耳熱Tπ2k2r4R0;
(2)小球在這段時間內在真空細管道內運動的圈數Emkqπr2;
(3)在真空細管道內部所加磁場的磁感應強度的大小12kt0

點評 考查電磁學與力學綜合運用的內容,掌握法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律的應用,理解動能定理及牛頓運動定律,注意電場強度與電動勢的符號區(qū)別,及用E=?2πr 計算出其電場強度是解題的突破口.

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