Question

如圖所示，坐標(biāo)平面的第Ⅰ象限內(nèi)存在大小為E、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，足夠長(zhǎng)的擋板MN垂直x軸放置且距離點(diǎn)O為d，第Ⅱ象限內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m，帶電量為一q的粒子（重力忽略不計(jì)）若自距原點(diǎn)O為L(zhǎng)的A點(diǎn)以一定的速度垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，則粒子恰好到達(dá)O點(diǎn)而不進(jìn)入電場(chǎng)．現(xiàn)將該種粒子兩個(gè)仍從A點(diǎn)但以不同方向先后射入磁場(chǎng)，但初速度大小變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，為使粒子進(jìn)入電場(chǎng)后能同時(shí)垂直到達(dá)擋板MN上被吸收，求：
（1）這兩個(gè)粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔．
（2）粒子打到擋板MN上時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析：畫(huà)出軌跡由幾何關(guān)系確定粒子的半徑大小，然后根據(jù)半徑公式求出粒子的速度，然后求而出當(dāng)速度加倍后的半徑

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，速度為v₀，由牛頓第二定律知：
qv₀B=m

v02

r

所以圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=

mv0

qB

由幾何關(guān)系知：r=

l

2

得初速度大小為v₀=

Bql

2m

設(shè)粒子初速度為原來(lái)的4倍時(shí)半徑為r₁，速度為v₁，由牛頓第二定律知：
qv₁B=m

v12

r1

v₁=4v₀
解得：r₁=2L
v₁=

2qBL

m

為使粒子進(jìn)入電場(chǎng)后能垂直到達(dá)擋板MN上，粒子必須平行x軸進(jìn)入電場(chǎng)，圓心O在y軸上，設(shè)速度方向與x軸正方向夾角為θ，由幾何關(guān)系知：
sinθ=

OA

O1A

=

L

2L

=

1

2

所以θ=30°或θ=150°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t₁=

30°

360°

T=

πm

6Bq

t₂=

150°

360°

T=

5πm

6Bq

兩粒子射入的時(shí)間間隔△t=t₂-t₁=

2πm

3Bq

（2）設(shè)粒子到達(dá)擋板速度為v₂，由動(dòng)能定理知：
qEd=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²
解得：v₂=

2qEd m + 4q2B2L2 m2

答：（1）這兩個(gè)粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔=

2πm

3Bq

．
（2）粒子打到擋板MN上時(shí)的速度大小為

2qEd m + 4q2B2L2 m2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡分階段處理是關(guān)鍵，帶電粒子在電場(chǎng)中加速的情況通常由動(dòng)能定理解決比較簡(jiǎn)單．