Question

（2003?珠海模擬）如圖所示，兩條互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi)，距離為l=0.2m，在導(dǎo)軌的一端接有阻值為R=0.5Ω的電阻，在X≥0處有一與水平面垂直的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B=0.5T．一質(zhì)量為m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導(dǎo)軌上，并以v₀=2m/s的初速度進(jìn)人磁場(chǎng)，在安培力和一垂直于桿的水平外力 F的共同作用下作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a=2m/s²，方向與初速度方向相反．設(shè)導(dǎo)軌和金屬桿的電阻都可以忽略，且接觸良好，求：
（1）電流為零時(shí)金屬桿所處的位置；
（2）電流為最大值的一半時(shí)施加在金屬桿上外力 F的大小和方向；
（3）保持其他條件不變，而初速度v₀取不同值，求開始時(shí)F的方向與初速度v₀取值的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）電流為0時(shí)，電動(dòng)勢(shì)為0，切割的速度為0．即知電流為0的位置為金屬桿勻減速運(yùn)動(dòng)速度為0的位置，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的公式求出金屬桿的位移．
（2）當(dāng)速度為v₀時(shí)，電動(dòng)勢(shì)最大，電流最大，根據(jù)E=BLv，結(jié)合閉合電路歐姆定律，可以求出最大電流．從而可以求出電流為最大值的一半時(shí)所受的安培力，根據(jù)牛頓第二定律求出外力的大小和方向．（要考慮金屬桿的運(yùn)動(dòng)方向）
（3）開始時(shí)，金屬桿所受的安培力FA=BIL=

B2L2v0

R

若F_A＜ma，F(xiàn)方向與x軸相反；F_A＞ma，F(xiàn)方向與x軸相同．

解答：解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv，I=

E

R

當(dāng)I=0時(shí)  v=0
由 2ax=v2-v02得：
金屬桿的位移為：x=

v02

2a

=

22

2×2

m=1m                                 
（2）金屬棒速度最大時(shí)最大電流 為 Im=

BLv0

R

 
I′=

Im

2

=

BLv0

2R

此時(shí)安培力為：FA=BI′L=

B2L2v0

2R

=0.02N                        
向右運(yùn)動(dòng)時(shí)由牛頓第二定律得：F+F_A=ma
即：F=ma-F_A=0.18N       方向 與x軸相反                 
向左運(yùn)動(dòng)時(shí)由牛頓第二定律得：F-F_A=ma
F=ma+F_A=0.22N       方向與x軸相反                 
（3）開始時(shí) v=v₀，此時(shí)安培力為：FA′=BImL=

B2L2v0

R

由牛頓第二定律得：F+F_A′=ma，F(xiàn)=ma-F_A′=ma-

B2L2v0

R

當(dāng)v₀＜

maR

B2L2

=10m/s  時(shí)，F(xiàn)＞0  方向與x軸相反              
   當(dāng)v₀＞

maR

B2L2

=10m/s   時(shí)，F(xiàn)＜0  方向與x軸相同．
答：（1）電流為零時(shí)金屬桿所處的位置x=1m；
（2）電流為最大值的一半時(shí)施加在金屬桿上外力 F的大小為0.18N，方向 與x軸相反，或0.22N，方向與x軸相反；
（3）當(dāng)v₀＜

maR

B2L2

=10m/s 時(shí)，F(xiàn)＞0  方向與x軸相反    
當(dāng)v₀＞

maR

B2L2

=10m/s 時(shí)，F(xiàn)＜0  方向與x軸相同．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵正確地對(duì)金屬桿進(jìn)行受力分析，靈活運(yùn)用牛頓第二定律．以及掌握導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv．