Question

18．如圖所示，設(shè)A、B為地球赤道圓的一條直徑的兩端，利用同步衛(wèi)星將一電磁波信號(hào)由A點(diǎn)傳到B點(diǎn)，已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，不考慮大氣對(duì)電磁波的折射．設(shè)電磁波在空氣中的傳播速度為c．求：
（1）至少要用幾顆同步衛(wèi)星？
（2）這幾顆衛(wèi)星間的最近距離是多少？
（3）用這幾顆衛(wèi)星把電磁波信號(hào)由A點(diǎn)傳到B點(diǎn)需要經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 作出電磁波傳播的路線(xiàn)圖，確定需要幾顆同步位置，結(jié)合幾何關(guān)系求出同步衛(wèi)星間的最近距離．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力以及萬(wàn)有引力等于重力求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)幾何關(guān)系求出P₁A和P₂B的距離，從而得出A傳播到B的路程，求出傳播的時(shí)間．

解答 解：（1、2）由圖可明顯地看出，為實(shí)現(xiàn)上述目的，至少需要兩顆同步衛(wèi)星，其位置在P₁、P₂，且這兩顆同步衛(wèi)星的最近距離是2R．
（3）設(shè)同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
又由在地表面處有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
由圖可見(jiàn)，此時(shí)通過(guò)這兩顆同步衛(wèi)星由A到B傳播電磁波信號(hào)經(jīng)過(guò)的路程為：
s=2R+P₁A+P₂B=2（R+P₂B）．
而根據(jù)勾股定理，有：P₂B=$\sqrt{（\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}）^{\frac{2}{3}}-{R}^{2}}$．
故電磁波信號(hào)由A傳播到B需要的時(shí)間為：t=$\frac{s}{c}=\frac{2R+2\sqrt{{（\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}）}^{\frac{2}{3}}-{R}^{2}}}{c}$．
答：（1）至少需要兩顆同步衛(wèi)星；
（2）同步衛(wèi)星間的最近距離為2R；
（3）把電磁波信號(hào)由A傳播到B需要的時(shí)間是$\frac{2R+2\sqrt{{（\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}）}^{\frac{2}{3}}-{R}^{2}}}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道同步衛(wèi)星的特點(diǎn)，掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．