Question

1．如圖所示，一半徑為R、折射率n=$\sqrt{2}$的半球形玻璃磚置于光屏MN的上方，一束半徑為r=$\frac{R}{2}$的圓形單色光正對(duì)半球形玻璃磚的中心O入射，經(jīng)玻璃磚折射后在下方的光屏MN上得到一個(gè)半徑r′=$\frac{R}{4}$的圓形光斑，試求光屏MN到半球形玻璃磚的直徑AB的距離．（tan75°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由數(shù)學(xué)知識(shí)求出光線在透光的邊界入射時(shí)的入射角，分析能否發(fā)生全反射，作出光路圖，由幾何知識(shí)求光屏MN到半球形玻璃磚的直徑AB的距離．

解答 解：因玻璃磚n=$\sqrt{2}$，所以發(fā)生全反射的臨界角滿足sinC=$\frac{1}{n}$，即得臨界角 C=45°  
由1圖可知，射入玻璃磚的光線的最大入射角滿足 sinα=$\frac{\frac{R}{2}}{R}$=0.5，
即 α=30°
所以所有的入射光線均不會(huì)發(fā)生全反射．由題意可知，光屏MN的位置可能有兩個(gè)，分別如圖1和圖2所示．
當(dāng)光屏在圖1所示的位置時(shí)，由折射率公式n=$\frac{sinβ}{sinα}$，可得β=45°
故∠O′CE=75°，$\overline{E{O^'}}=\overline{CE}×（2+\sqrt{3}）=\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}R$
又因?yàn)楣馄辽瞎獍叩陌霃綖閞′=$\frac{R}{4}$，由幾何關(guān)系可知$\overline{EF}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{4}R$，$\overline{OE}=\sqrt{{R^2}-{{（\frac{R}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，所以光屏MN到半球形玻璃磚的直徑AB的距離
 $h=\overline{OE}+\overline{EF}$，代入數(shù)據(jù)可得 $h=\frac{{3\sqrt{3}+2}}{4}R$
當(dāng)光屏在圖2所示的位置時(shí)，由幾何關(guān)系可知$\overline{E{O^'}}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}R$，$\overline{{O^'}F}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{4}R$
所以光屏MN到半球形玻璃磚的直徑AB的距離$h=\overline{OE}+\overline{EF}$，代入數(shù)據(jù)可得$h=\frac{{5\sqrt{3}+6}}{4}R$
答：光屏MN到半球形玻璃磚的直徑AB的距離為$\frac{3\sqrt{3}+2}{4}R$或$\frac{5\sqrt{3}+6}{4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要掌握全反射及其產(chǎn)生條件，結(jié)合幾何知識(shí)求解即可，但要注意不能漏解．