Question

10．如圖所示，AB是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中且電場(chǎng)線方向與圓面平行，今將一個(gè)質(zhì)量為m（不計(jì)重力），帶電量為+q的小球從A點(diǎn)以大小相等的初速度v₀沿著不同方向拋出時(shí)小球經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)，在所有的點(diǎn)中，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)的動(dòng)能最大，已知OC與AB的夾角為θ=60°，試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向；
（2）若撤去電場(chǎng)，在圓形區(qū)域內(nèi)加上勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，仍能使小球從A點(diǎn)拋出，其速度方向與直徑AB成30°指向右上方，為使小球仍能從C點(diǎn)射出，求對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）若撤去電場(chǎng)，在圓形區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置加上一個(gè)矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀，仍使小球從A點(diǎn)拋出，其速度方向與直徑AB成30°指向右上方，為使小球仍從C點(diǎn)射出，試求該矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）由題，小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理可知離子沿電場(chǎng)線的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力做功最多，可知C點(diǎn)的電勢(shì)最低，電場(chǎng)方向必定從O點(diǎn)指向C點(diǎn)．
（2）（3）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系確定粒子的半徑和圓心，然后由半徑公式即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度以及磁場(chǎng)的區(qū)域的大�。�

解答 解：（1）依題，從C點(diǎn)出來(lái)的微粒動(dòng)能最大，電場(chǎng)力做功必最多，且電場(chǎng)方向必定從O點(diǎn)指向C點(diǎn)，C點(diǎn)電勢(shì)最低．
（2）如圖做出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，AD為粒子的初速度的方向與圓的交點(diǎn)，連接CD；由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，DC的方向一定是粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的方向，而且△ACD是等邊三角形；粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心一定在AC的垂直平分線上，分別做過(guò)A點(diǎn)與過(guò)C點(diǎn)的垂線，它們的交點(diǎn)P就是圓心的位置，由幾何關(guān)系可知，P點(diǎn)一定在圓上，所以軌跡的半徑：
r=PA=$\overline{PD}•sin30°$=2Rsin30°=R
粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力提供向心力，得：$qv{B}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：${B}_{1}=\frac{mv}{qR}$

（3）在圓形區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置加上一個(gè)矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀，仍使小球從A點(diǎn)拋出，其速度方向與直徑AB成30°指向右上方，仍然使小球仍從C點(diǎn)射出，則小球運(yùn)動(dòng)的軌跡不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，所以最小的磁場(chǎng)的區(qū)域如圖2所示，其中：AC=2R•cos30°=$\sqrt{3}$R；高度：h=R•sin30°=0.5R
其面積：${S}_{m}=AC•h=\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿OC的方向；
（2）若撤去電場(chǎng)，在圓形區(qū)域內(nèi)加上勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，仍能使小球從A點(diǎn)拋出，其速度方向與直徑AB成30°指向右上方，為使小球仍能從C點(diǎn)射出，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是$\frac{mv}{qR}$；
（3）若撤去電場(chǎng)，在圓形區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置加上一個(gè)矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀，仍使小球從A點(diǎn)拋出，其速度方向與直徑AB成30°指向右上方，為使小球仍從C點(diǎn)射出，該矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題（1）關(guān)鍵是對(duì)電場(chǎng)力做功公式W=qEd的理解和應(yīng)用，d是沿電場(chǎng)方向兩點(diǎn)間的距離；（3）的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的臨界條件．