Question

（2012?鹽城二模）如圖所示，在第一象限內(nèi)，0＜x≤a的區(qū)域中有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x＞a的區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B．在原點(diǎn)O處有一小孔，一束質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電的粒子，沿著x軸方向經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后穿過(guò)x軸或y軸離開(kāi)磁場(chǎng)．已知入射粒子的速率在零到某一最大值之間，速率最大的粒子在0＜x≤a區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πm

3Bq

，它離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與x軸垂直，不計(jì)粒子重力，求：
（1）y軸上粒子射出點(diǎn)到原點(diǎn)O的最大距離
（2）速率最大的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的x軸坐標(biāo)
（3）所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍．

Answer 1

分析：（1）打到y(tǒng)軸上的粒子均沿半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，離O最遠(yuǎn)的粒子軌跡剛好與兩磁場(chǎng)交界線相切，畫出軌跡即可求解；
（2）根據(jù)速度最大的粒子在0＜x≤a中運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出其對(duì)應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，通過(guò)x＞a的區(qū)域后，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與x軸垂直，說(shuō)明圓心在x軸上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得坐標(biāo)；
（3）穿過(guò)y軸的所有粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為半個(gè)周期，畫出穿過(guò)x軸的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍．

解答：解：（1）打到y(tǒng)軸上的粒子均沿半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，離O最遠(yuǎn)的粒子軌跡剛好與兩磁場(chǎng)交界線相切（如圖軌跡①）
則y_max=2a
（2）速度最大的粒子在0＜x≤a中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

πm

3Bq

=

T

6

其對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，所以R=

a

sin60°

=

2 3

3

a
通過(guò)x＞a的區(qū)域后，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與x軸垂直，說(shuō)明圓心在x軸上（如圖軌跡②）
由幾何關(guān)系可知，對(duì)應(yīng)的圓心角為150°
x=R+2Rsin60°=2a+

2 3

3

a
（3）穿過(guò)y軸的所有粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₁=

T

2

=

πm

Bq

穿過(guò)x軸的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間在如圖軌跡②與軌跡③之間，
按軌跡②的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t₂′=

7T

12

=

7πm

6Bq

按軌跡③的運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t₂″=T=

2πm

Bq

所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍是t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）
答：（1）y軸上粒子射出點(diǎn)到原點(diǎn)O的最大距離為2a；
（2）速率最大的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的x軸坐標(biāo)為2a+

2 3

3

a；
（3）所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍為t₁=

πm

Bq

和t₂∈（

7πm

6Bq

，

2πm

Bq

）．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑，同時(shí)還利用圓弧的對(duì)稱性來(lái)幫助解題．