Question

2．如圖所示，豎直固定的軌道內有一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧，彈簧下端固定在水平地面上．質量為m的物體可沿軌道上、下運動，物體與軌道間的最大摩擦力和動摩擦力大小都為f=$\frac{mg}{4}$．已知彈簧彈性勢能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量（即彈簧伸長或縮短的長度），彈簧始終處于彈性限度內，重力加速度為g，物體在距離彈簧為H的高度從靜止下落．試求：
（1）物體從靜止開始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時間t；
（2）物體到達最低位置時，求彈簧的最大形變量x；
（3）物體到達最低位置后能否回彈？若不能，請說明理由；若能，請求出從最低位置第一次回彈
的高度h．

Answer 1

分析 （1）小球開始時做勻加速直線運動，由位移公式即可求出下落的時間；
（2）小球接觸彈簧開始，合力向下，向下做加速度逐漸減小的加速運動，運動到某個位置時，合力為零，加速度為零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐漸增大的減速運動，運動到最低點時，速度為零，根據(jù)功能關系即可求出彈簧的最大形變量x．
（3）根據(jù)受力分析判定小球能否回彈．由功能關系可求得回彈的高度．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：mg-f=ma，
運動學公式H=$\frac{1}{2}$at²
解得：t=2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$
（2）物體從靜止開始下落第一次到達最低位置過程，有：
（mg-f）（H+x）=$\frac{1}{2}$kx²
解得：x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）物體下落停止后，回彈條件為kx＞mg+f    
即需要x＞$\frac{5mg}{4k}$
而x=$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$＞$\frac{6mg}{4k}$說明物體能回彈
回彈有兩種可能性：
①物體回彈至速度為零時，彈簧仍壓縮x'，有：
$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$kx'²+（mg+f）（x-x'）
解得：x'=$\frac{{7mg-\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
而x'≥0，即需要滿足k≤$\frac{5mg}{3H}$
①當k≤$\frac{5mg}{3H}$時，回彈高度h₁=x-x'=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②當k＞$\frac{5mg}{3H}$時，物體將脫離彈簧，設物體能上升到距彈簧自由端△h處
由能量關系得$\frac{1}{2}$kx²=（mg+f）（x+△h） 
h₂=x+△h     h₂=$\frac{3}{5}$（H+x）
h₂=$\frac{3}{5}$（H+$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$）
討論當k=$\frac{5mg}{3H}$時，h₁=$\frac{3H}{2}$；當k→∞時，h₂→$\frac{3H}{5}$
答：（1）物體從靜止開始下落到剛與彈簧接觸所經(jīng)歷的時間t為2$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$；
（2）物體到達最低位置時，求彈簧的最大形變量x為$\frac{{3mg+\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}}}{4k}$
（3）能回彈；①當k≤$\frac{5mg}{3H}$時，回彈高度h₁=$\frac{{\sqrt{9{m^2}{g^2}+24kmgH}-2mg}}{2k}$
②討論當k=$\frac{5mg}{3H}$時，h₁=$\frac{3H}{2}$；當k→∞時，h₂→$\frac{3H}{5}$

點評 解決本題的關鍵知道根據(jù)合力的大小和方向可知加速度的大小和方向，以及知道加速度與速度同向，速度增加，加速度與速度反向，速度減�。�