Question

一個(gè)質(zhì)量m=1.0×10^-11千克的物體靜止在足夠大的光滑水平地面上，從t=0開始，物體受到一個(gè)大小不變、方向呈周期性變化的水平力F作用，力F隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖所示．已知F₀=7.2牛，T=1×10^-6秒．則：
（1）該物體在t=0至t=T期間，通過多少距離時(shí)速度第一次達(dá)到最大，最大速度為多少？
（2）請?jiān)谌鐖D的坐標(biāo)系中繪出該物體在t=0至t=4T/3期間的v-t圖象．
（3）該物體運(yùn)動(dòng)位移大小等于15厘米，需要的時(shí)間為多少？
（4）該物體在運(yùn)動(dòng)位移大小等于15厘米過程中，水平力F對物體做功多少？

Answer 1

分析：解：（1）物體有前

T

3

內(nèi)做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在接著

T

3

內(nèi)做加速度大小相等的勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為0，在接著

T

6

內(nèi)做反方向的相同加速度大小的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再后一個(gè)

T

6

又做相同加速度大小的勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為0；由此分析一個(gè)周期內(nèi)速度最大時(shí)刻為

T

3

，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)分析便可；
（2）由（1）求出的正向最大速度，同理可以計(jì)算負(fù)方向的最大速度，根據(jù)加速度一定繪出圖象即可；
（3）根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的周期性求解，求出每個(gè)周期物體運(yùn)動(dòng)的位移，再根據(jù)周期性求解即可；
（4）求出物體在運(yùn)動(dòng)至15厘米處的速度，根據(jù)動(dòng)能定理以求動(dòng)能的變化而求力F做的功．

解答：解：（1）物體在恒力作用下產(chǎn)生的加速度a=

F

m

=

7.2

1.0×10-11

=7.2×10¹¹ m/s²
由圖象可以知，物體在

T

3

末開始做減速運(yùn)動(dòng)，至

2

3

T時(shí)速度減至0，故物體第一次速度最大時(shí)發(fā)生在

T

3

末，即：
當(dāng)物體通過距離S=

1

2

at²=

1

2

×7.2×10¹¹×（

1.0×10-6

3

）²m=0.04m時(shí)，
物體速度第一次達(dá)到最大，v_max=at=7.2×10¹¹×（

1.0×10-6

3

）m/s=2.4×10⁵m/s
（2）F-t圖象可知，物體在

2

3

T末速度為0，在接著

T

6

內(nèi)沿反方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則
據(jù)速度時(shí)間關(guān)系知，反方向可以達(dá)到的最大速度v-max=at=7.2×1011×

1.0×10-6

6

m/s=1.2×10⁵m/s
所以在一個(gè)周期內(nèi)的v-t圖象如下圖所示．                            
（3）物體在t=0至t=2T/3期間運(yùn)動(dòng)的正方向位移為
S₁=

1

2

×2.4×10⁵×

2×1.0×10-6

3

=0.08 m
物體在t=2T/3至t=T期間運(yùn)動(dòng)的負(fù)方向位移大小為
S₂=

1

2

×1.2×10⁵×

1.0×10-6

3

=0.02 m

物體在t=0至t=T期間運(yùn)動(dòng)的位移S₃=S₁-S₂=0.06 m
根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的周期性（見圖）
物體在t=0至t=2T期間運(yùn)動(dòng)的位移S₄=2S₃=0.12m
物體還有0.03m的距離，根據(jù)S=

1

2

at²
0.03=

1

2

×7.2×1011×(△t)2
△t=

5 3

3

×10-7s≈0.29×10^-6s
所以物體運(yùn)動(dòng)位移15厘米的時(shí)間為t_總=2T+△t=2.29×10^-6s
（4）物體運(yùn)動(dòng)15厘米位移大小時(shí)的速度
v=a△t=7.2×1011×

5 3

3

×10-7m/s=12

3

×104m/s
根據(jù)動(dòng)能定理，力F在15厘米位移中對物體做的功等于物體動(dòng)能的變化
WF=

1

2

mv2=

1

2

×1.0×10-11×(12

3

×104)2J=0.216J
答：（1）通過0.04m時(shí)速度達(dá)到最大2.4×10⁵m/s
（2）v-t圖象如圖所示
（3）物體運(yùn)動(dòng)位移15厘米所需時(shí)間為2.29×10^-6s
（4）物體運(yùn)動(dòng)位移15厘米力F做功為0.216J．

點(diǎn)評：本題物體受到周期性變化的力作用，運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，如畫v-t圖象分析，形象直觀，簡單明了．這也物理常用的方法．