Question

（25分）如圖所示，一薄壁導體球殼（以下簡稱為球殼）的球心在點．球殼通過一細導線與端電壓的電池的正極相連，電池負極接地．在球殼外點有一電量為的點電荷，點有一電量為的點電荷。之間的距離，之間的距離．現(xiàn)設想球殼的半徑從開始緩慢地增大到50，問：在此過程中的不同階段，大地流向球殼的電量各是多少？己知靜電力恒量．假設點電荷能穿過球殼壁進入導體球殼內而不與導體壁接觸。

Answer 1

解析：

分以下幾個階段討論：
　  1．由于球殼外空間點電荷、的存在，球殼外壁的電荷分布不均勻，用表示面電荷密度．設球殼半徑時球殼外壁帶的電量為，因為電荷、與球殼外壁的電量在球殼內產生的合場強為零，球殼內為電勢等于的等勢區(qū)，在導體表面上的面元所帶的電量為，它在球殼的球心處產生的電勢為，球殼外壁所有電荷在球心產生的電勢為

                          （1）

點電荷、在球殼的球心處產生的電勢分別為與，因球心處的電勢等于球殼的電勢，按電勢疊加原理，即有

                                （2）

代入數(shù)值后可解得球殼外壁的電量為

因球殼內壁無電荷，所以球殼的電量等于球殼外壁的電量，即

                                 （3）

2．當球殼半徑趨于時（點電荷仍在球殼外），設球殼外壁的電量變?yōu)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090720/20090720113451020.gif' width=20>，球殼外的電荷、與球殼外壁的電量在殼內產生的合場強仍為零，因球殼內仍無電荷，球殼內仍保持電勢值為的等勢區(qū)，則有

                 （4）

解得球殼外壁的電量

因為此時球殼內壁電量仍為零，所以球殼的電量就等于球殼外壁的電量，即

                               （5）
在到趨于的過程中，大地流向球殼的電量為

                           （6）

3．當點電荷穿過球殼，剛進入球殼內（導體半徑仍為），點電荷在球殼內壁感應出電量－，因球殼的靜電屏蔽，球殼內電荷與球殼內壁電荷－在球殼外產生的合電場為零，表明球殼外電場僅由球殼外電荷與球殼外壁的電荷所決定．由于球殼的靜電屏蔽，球殼外電荷與球殼外壁的電荷在球殼內產生的合電場為零，表明對電荷與產生的合電場而言，球殼內空間是電勢值為的等勢區(qū)．與在球心處產生的電勢等于球殼的電勢，即

                                     （7）

解得球殼外壁電量

                        （8）

球殼外壁和內壁帶的總電量應為

                        （9）

在這過程中，大地流向球殼的電量為

                                  （10）

這個結果表明：電荷由球殼外極近處的位置進入殼內，只是將它在球殼外壁感應的電荷轉至球殼內壁，整個球殼與大地沒有電荷交換．
    4．當球殼半徑趨于時（點電荷仍在球殼外），令表示此時球殼外壁的電量，類似前面第3階段中的分析，可得

                                     （11）

由此得

球殼的電量等于球殼內外壁電量的和，即
                         （12）

大地流向球殼的電量為

                         （13）

5．當點電荷穿過球殼，剛進入球殼內時（球殼半徑仍為），球殼內壁的感應電荷變?yōu)椋��?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090720/20090720113451001.gif' width=16>＋），由于球殼的靜電屏蔽，類似前面的分析可知，球殼外電場僅由球殼外壁的電量決定，即

                                           （14）

可得

球殼的總電量是

                      （15）

在這個過程中，大地流向球殼的電量是

                                  （16）

6．當球殼的半徑由增至時，令表示此時球殼外壁的電量，有

                                           （17）

可得

球殼的總電量為

                     （18）

大地流向球殼的電量為

                （19）