Question

5．如圖，無限長的平行光滑金屬軌道M、N，相距L，且水平放置；金屬棒b和c之間通過絕緣輕彈簧相連，彈簧處于壓縮狀態(tài)，并鎖定，壓縮量為x₀；整個裝置放在磁感強度為B的勻強磁場中，磁場方向與軌道平面垂直．兩棒開始靜止，某一時刻，解除彈簧的鎖定，兩棒開始運動．已知兩金屬棒的質(zhì)量m_b=2m_c=m，電阻R_b=R_C=R，軌道的電阻不計．
（1）求當彈簧第一次恢復原長的過程中，通過導體棒某一橫截面的電量．
（2）已知彈簧第一次恢復原長時，b棒速度大小為v，求此時c棒的加速度．

Answer 1

分析 （1）當彈簧第一次恢復原長的過程中，由電量的公式、法拉第電磁感應定律和歐姆定律結合求解電量．
（2）對兩棒構成的系統(tǒng)，合外力為零，遵守動量守恒，據(jù)此求解出彈簧第一次恢復原長時c棒速度大小，從而求出c棒所受的安培力，即可求加速度．

解答 解：（1）設當彈簧第一次恢復原長的過程中某一時刻電流為i，在極短時間內(nèi)：
通過導體棒某一橫截面的電量為：
△q=i△t=$\frac{BL（{v}_{1}+{v}_{2}）}{2R}$•△t=$\frac{BL△x}{2R}$
兩邊求和得：
$\sum_{\;}^{\;}$△q=$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{BL△x}{2R}$
所以在當彈簧第一次恢復原長的過程中，通過導體棒某一橫截面的電量為：
Q=$\sum_{\;}^{\;}$△q=$\frac{BL{x}_{0}}{2R}$
（2）對兩棒構成的系統(tǒng)，合外力為零，取向左為正，根據(jù)動量守恒定律得：
m_bv-m_cv_c=0…①
又m_b=2m_c=m，
解得：v_c=2v
彈簧第一次恢復原長時：回路中的感應電動勢為：E=BL（v_c+v）          
感應電流為：I=$\frac{E}{2R}$                  
棒c所受的安培力為：F=BIL                 
對C，由牛頓第二定律得：F=$\frac{1}{2}ma$                            
聯(lián)立解得：a=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$
答：（1）當彈簧第一次恢復原長的過程中，通過導體棒某一橫截面的電量為$\frac{BL{x}_{0}}{2R}$．
（2）已知彈簧第一次恢復原長時，b棒速度大小為v，此時c棒的加速度為$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．

點評 對于雙桿類型，當兩桿的速度方向相反時，回路中感應電動勢為 E=BL（v₁+v₂）．對于感應電荷量，可根據(jù)q=$\frac{△Φ}{R+r}$求解．