Question

如圖，空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向?yàn)?I >y軸正方向，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場(chǎng)或磁場(chǎng)與    撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從P(x＝0，y＝h)點(diǎn)以一定的速度平行于x軸正向入射．這時(shí)若只有磁場(chǎng)，粒子將做半徑為R₀的圓周運(yùn)動(dòng)：若同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，粒子恰好做直線運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)在，只加電場(chǎng)，當(dāng)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x＝R₀平面（圖中虛線所示）時(shí)，立即撤除電場(chǎng)同時(shí)加上磁場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，其軌跡與x軸交于M點(diǎn)．不計(jì)重力．求：

⑴粒子到達(dá)x＝R₀平面時(shí)速度方向與x軸的夾角以及粒子到x軸的距離；

⑵M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M．

Answer 1

（1）  h+   (2)2R₀+

解析：（Ⅰ）設(shè)粒子質(zhì)量、帶電量和入射速度分別為m,q和v₀,則電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足下述條件

qE=qv₀B                                             ①

qv₀B=m                                         ②

現(xiàn)在，只有電場(chǎng)，入射粒子將以與電場(chǎng)方向相同的加速度

a=                                              ③

做類平拋運(yùn)動(dòng).粒子從P（x=0,y=h)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=R₀平面的時(shí)間為

t=                                              ④

粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)速度的y方向分量為v_y=at          ⑤

由①②③④⑤式得v_y=v₀                               ⑥

此時(shí)粒子速度大小為

v==v₀                                 ⑦

速度方向與x軸的夾角為θ=                         ⑧

粒子與x軸的距離為H=h+at²=h+.                 ⑨

（Ⅱ）撤除電場(chǎng)加上磁場(chǎng)后，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)圓軌道半徑為R，則

qvB=m                                           ⑩

由②⑦⑩式得R=R₀                               

    粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，其中圓弧的圓心C位于與速度v的方向垂直的直線上，該直線與x軸和y軸的夾角均為π/4.由幾何關(guān)系及式知C點(diǎn)的坐標(biāo)為

x_c=2R₀,

y_c=H-R₀=h-                                               

過(guò)C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D.，在△CD.M中

CM=R=R₀,

CD=y_c=h-R₀

由此求得

DM=                        

M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

X_M=2R₀+.