Question

9．如圖所示的均勻薄壁U形管，左管上端封閉，右管開口且足夠長，管的橫截面積為S，內(nèi)裝有密度為ρ的液體，右管內(nèi)有一質(zhì)量為m的活塞擱在固定卡口上，卡口與左管上端等高，活塞與管壁間無摩擦且不漏氣，溫度為T₀時，左、右兩管內(nèi)液面等高，兩管內(nèi)空氣柱長度均為L，壓強(qiáng)均等于外界大氣壓P₀，重力加速度為g現(xiàn)使左、右兩管溫度同時緩慢升高，在活塞離開卡口上升前，左、右兩管內(nèi)液面保持不動，試求：
①溫度升高到多少時，右管活塞開始離開卡口上升？
②溫度升高到多少時，左、右兩管內(nèi)液面高度差為L？

Answer 1

分析 ①選取右管活塞為研究對象，對其受力分析，利用共點力的平衡可得被封閉氣體的壓強(qiáng)．在活塞離開卡口之前，兩側(cè)的氣體體積不發(fā)生變化，對右管的氣體進(jìn)行狀態(tài)分析，列狀態(tài)方程，可解得溫度T₁．
②右管活塞離開卡口后，右側(cè)的氣體壓強(qiáng)不再發(fā)生變化，以左側(cè)的氣體為研究對象，進(jìn)行狀態(tài)分析，列狀態(tài)方程，可求得溫度T₂．

解答 解：①活塞剛離開卡口時，對活塞有mg+p₀S=p₁S
得${p_1}={p_0}+\frac{mg}{S}$
左、右兩管內(nèi)氣體體積不變，對右管氣體利用查理定律有$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}$
得${T_1}={T_0}（{1+\frac{mg}{{{p_0}S}}}）$
②左管內(nèi)氣體長度為$\frac{3L}{2}$，壓強(qiáng)為${p_2}={p_0}+\frac{mg}{S}+ρgL$
應(yīng)用理想氣體的狀態(tài)方程有$\frac{{{p_0}LS}}{T_0}=\frac{{{p_2}•\frac{3L}{2}S}}{T_2}$
得${T_2}=\frac{{3{T_0}}}{{2{p_0}}}（{{p_0}+\frac{mg}{S}+ρgL}）$
答：①溫度升高到${T_1}={T_0}（{1+\frac{mg}{{{p_0}S}}}）$時，右管活塞開始離開卡口上升；
②溫度升高到${T_2}=\frac{{3{T_0}}}{{2{p_0}}}（{{p_0}+\frac{mg}{S}+ρgL}）$時，左、右兩管內(nèi)液面高度差為L．

點評 該題考查了理想氣體狀態(tài)方程的應(yīng)用，具體注意以下兩個方面：
1、在求解被封閉氣體氣體的壓強(qiáng)時，有時需要對活塞或液柱進(jìn)行受力分析，利用力的平衡解答．在選取研究對象時，往往以受力較少的那個物體為研究對象．
2、對于研究在U型管內(nèi)被封閉的氣體的狀態(tài)參量的變化時，要正確的確定理想氣體的狀態(tài)，分析其狀態(tài)參量，選擇相應(yīng)的狀態(tài)方程進(jìn)行解答