Question

2．2015年4月1日，中國(guó)首次公開(kāi)登月飛船方案．兩種飛船中，全重20噸的飛船可支持登月任務(wù)．
（1）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，站在月球表面從高h(yuǎn)處以速度v₀水平拋出一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落地．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，求月球的密度ρ_月．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力，列式求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)．
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，分位移公式可求得月球表面的重力加速度g，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解月球質(zhì)量，從而算出月球的密度；

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：
G$\frac{M{M}_{月}}{{r}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²r　
質(zhì)量為m的物體在地球表面時(shí)：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
h=$\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
解得：
${g}_{月}=\frac{2h}{{t}^{2}}$
在月球表面上，小球所受重力等于月球?qū)π∏虻奈�引力，故�?br />mg_月=G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$
月球的密度：
${ρ}_{月}=\frac{{M}_{月}}{\frac{4}{3}π{r}_{月}^{2}}$
聯(lián)立解得：
${ρ}_{月}=\frac{3h}{2π{r}_{月}G{t}^{2}}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）月球的密度為$\frac{3h}{2π{r}_{月}G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力．并能靈活運(yùn)用；重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀(guān)物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．