Question

14．21世紀(jì)，我國某宇航員登上一半徑為R的球狀星體，宇航員在該星體上用常規(guī)方法就能測量出該星球的質(zhì)量．在星球表面上，兩次用相同的力豎直上拋和平拋同一物體，使兩次拋出時(shí)的初速度速率相等，用停表測出從豎直上拋到落回拋出點(diǎn)的總時(shí)間t₀，再用卷尺測出平拋的水平射程x和下落高度h．已知該星球的半徑為R，且物體只受該星球的引力作用．
（1）求該星球表面的重力加速度．
（2）該宇航員如何計(jì)算該星球的質(zhì)量？
（3）如果要在這個(gè)星球上發(fā)射一顆貼近它表面運(yùn)行的衛(wèi)星，求該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期．

Answer 1

分析 由平拋運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解重力加速度；
根據(jù)在星球表面星球與宇航員的萬有引力近似等于宇航員的重力列出等式求解星球的質(zhì)量；
根據(jù)萬有引力提供向心力求解線速度和周期．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)知識得x=v₀t，
h=$\frac{1}{2}$gt²消去t得：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$•2h…①
由豎直上拋運(yùn)動(dòng)知識得：v₀=g•$\frac{{t}_{0}}{2}$，
②將②代入①消去v₀得：g=$\frac{{2x}^{2}}{{ht}_{0}^{2}}$
（2）根據(jù)在星球表面星球與宇航員的萬有引力近似等于宇航員的重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
可知：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$．
該星球的質(zhì)量為：M=$\frac{{{2x}^{2}R}^{2}}{G{ht}_{0}^{2}}$，
（3）該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{x}{{t}_{0}}$$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
周期為：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{{πt}_{0}}{x}$$\sqrt{2hR}$，
答：（1）該星球表面的重力加速度是$\frac{{2x}^{2}}{{ht}_{0}^{2}}$．
（2）該星球的質(zhì)量是$\frac{{{2x}^{2}R}^{2}}{G{ht}_{0}^{2}}$．
（3）該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是$\frac{x}{{t}_{0}}$$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，周期是$\frac{{πt}_{0}}{x}$$\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評 計(jì)算星球的質(zhì)量主要從星球表面重力與萬有引力等，或萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力出發(fā)計(jì)算．