Question

10．在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，各區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下，大小為E=$\frac{B{v}_{0}}{3}$；傾斜虛線與x軸之間的夾角為60°，一帶正電的C粒子從O點(diǎn)以速度v₀與y軸成30°角射入左側(cè)磁場(chǎng)，粒子經(jīng)過(guò)傾斜虛線后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好從圖中A點(diǎn)射入右側(cè)x軸下方磁場(chǎng)．已知帶正電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m（粒子重力忽略不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子通過(guò)傾斜虛線時(shí)的位置坐標(biāo)；
（2）粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向以及勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度L；
（3）若從粒子到達(dá)A處開始計(jì)時(shí)，以后哪些時(shí)刻粒子經(jīng)過(guò)x軸．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可解出軌跡半徑．再由幾何知識(shí)來(lái)算出位置的坐標(biāo)；
（2）由幾何關(guān)系得知，粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，因此可將其運(yùn)動(dòng)分解，根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式去確定到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度；
（3）從A開始粒子分別在兩個(gè)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期公式分別寫出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間通項(xiàng)，由此可得粒子在什么時(shí)候經(jīng)過(guò)x軸．

解答 解：（1）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
如圖畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，

根據(jù)幾何關(guān)系有：
${x}_{1}=Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$
${y}_{1}=R（1+sin30°）=\frac{3}{2}R=\frac{3m{v}_{0}}{2qB}$
位置坐標(biāo)為：$（\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}，\frac{3m{v}_{0}}{2qB}）$
（2）由幾何關(guān)系可知粒子垂直電場(chǎng)線進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)
qE=ma
${v}_{y}=\sqrt{2a{y}_{1}}$
粒子到達(dá)A點(diǎn)的速度大小$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
設(shè)速度與x軸的夾角為θ，則：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以：θ=45°
由v_y=at₁解得：
${t}_{1}=\frac{3m}{qB}$
x₂=v₀t₁
聯(lián)立以上各式解得：L=x₁+x₂=$（\frac{\sqrt{3}}{2}+3）\frac{m{v}_{0}}{qB}$
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πr}{v}$
粒子到達(dá)x軸時(shí)可能時(shí)刻：
$t=n×\frac{T}{4}$  （n=1，2，3…）
所以粒子經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)刻$t=\frac{nπm}{2qB}$ （n=1，2，3…）
答：（1）帶電粒子通過(guò)傾斜虛線時(shí)的位置坐標(biāo)為$（\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}，\frac{3m{v}_{0}}{2qB}）$；
（2）粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$和方向以及勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度L為$（\frac{\sqrt{3}}{2}+3）\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（3）若從粒子到達(dá)A處開始計(jì)時(shí)，粒子經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)刻為$\frac{nπm}{2qB}$ （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了僅僅由電場(chǎng)力做類平拋運(yùn)動(dòng)，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)如何處理類平拋運(yùn)動(dòng)及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，形成一定的解題能力．同時(shí)注意幾何知識(shí)的熟練應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)洛倫茲力的方向的重要性及運(yùn)動(dòng)軌跡的多樣性．