Question

某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)、外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外磁場(chǎng)范圍足夠大，已知兩部分磁場(chǎng)方向相反，方向如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，現(xiàn)在圓形區(qū)域的邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)電量為q，質(zhì)量為m的帶正離子沿半徑方向射入圓內(nèi)磁場(chǎng)．求：
（1）若離子的速度大小為v₁，求該離子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r；
（2）若離子與圓心O的連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，離子也恰好回到A點(diǎn)，試求該離子的運(yùn)動(dòng)速度v；
（3）在離子恰能回到A點(diǎn)的情況下，該離子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道半徑r；
（2）畫出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，即可求出離子的運(yùn)動(dòng)速度v；
（3）粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所需時(shí)間就越短，根據(jù)上題中結(jié)論，求出粒子在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角，即可求出離子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間t．

解答：解：
（1）由 Bqv=m

v2

r

 得r=

mv

qB

     ①
（2）如圖，O₁為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，O₂為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，如右圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知 tanθ=

r

R

  ②
∠AOB=∠BOC=2θ，如果粒子回到A點(diǎn)，則必有 n×2θ=2π，（n=3，4，5…）③
由①②③可得v=

qBR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）
（3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所需時(shí)間就越短，因此取n=3，
其軌跡如左圖所示，代入到③可得θ=

π

3

 而粒子在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為α=

π

3

故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=T+

α

2π

T=

7πm

3qB

．
答：（1）若離子的速度大小為v₁，該離子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r是

mv

qB

；
（2）若離子與圓心O的連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，離子也恰好回到A點(diǎn)，該離子的運(yùn)動(dòng)速度v是

qBR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）；
（3）在離子恰能回到A點(diǎn)的情況下，該離子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間t是

7πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題中離子做周期性的運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求解軌道半徑是解題的關(guān)鍵．