Question

12．如圖是湯姆孫用來測定電子比荷（電子的電荷量與質量之比）的實驗裝置示意圖，某實驗小組的同學利用此裝置進行了如下探索：

①真空管內的陰極K發(fā)出的電子經(jīng)加速后，穿過A'中心的小孔沿中心線OP的方向進入到兩塊水平正對放置的平行極板M和N間的區(qū)域．當M和N間不加偏轉電壓時，電子束打在熒光屏的中心P點處，形成了一個亮點；
②在M和N間加上偏轉電壓U后，亮點偏離到P₁點；
③在M和N之間再加上垂直于紙面向外的勻強磁場，調節(jié)磁場的強弱，當磁感應強度的大小為B時，電子在M、N間作勻速直線運動，亮點重新回到P點；
④撤去M和N間的偏轉電壓U，只保留磁場B，電子在M、N間作勻速圓周運動，亮點偏離到P₂點．若視熒光屏為平面，測得P、P₂的距離為y．
已知M和N極板的長度為L₁，間距為d，它們的右端到熒光屏中心P點的水平距離為L₂，不計電子所受的重力和電子間的相互作用．
（1）求電子在M、N間作勻速直線運動時的速度大��；
（2）寫出電子在M、N間作勻速圓周運動的軌跡半徑r與L₁、L₂及y之間的關系式；
（3）若已知電子在M、N間作勻速圓周運動的軌跡半徑r，求電子的比荷；
（4）根據(jù)該小組同學的探索，請?zhí)岢龉浪汶娮颖群傻钠渌桨讣靶枰獪y量的物理量．

Answer 1

分析 （1）當電子受到電場力與洛倫茲力平衡時，做勻速直線運動，因此由電壓、磁感應強度可求出運動速度．
（2）電子在電場中做類平拋運動，將運動分解成沿電場強度方向與垂直電場強度方向，然后由運動學公式求解．電子離開電場后，做勻速直線運動，從而可以求出偏轉距離的表達式，變型得到電子的荷質比表達式．
（3）根據(jù)運動學公式，結合牛頓第二定律，及幾何關系，即可求解；
（4）根據(jù)實驗的方法明確估算電子比荷的方案．

解答 解：（1）電子在極板M、N間電場力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線運動，受力平衡，設電子進入極板間的速度為v，由平衡條件有 evB=eE
兩極板間電場強度 $E=\frac{U}xtnrlvz$
解得 $v=\frac{U}{Bd}$
（2）極板M、N間僅有勻強磁場時，電子做半徑為r的勻速圓周運動，射出磁場后電子做勻速直線運動，如圖所示$tanθ=\frac{L_1}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
穿出磁場后在豎直方向上移動的距離${y_3}={L_2}tanθ=\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+{y_3}$
解得$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
（3）電子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r，洛倫茲力提供向心力$evB=m\frac{v^2}{r}$
解得   $\frac{e}{m}=\frac{U}{{{B^2}dr}}$
（4）方案1：若忽略電子從陰極K發(fā)出的初速度，分析電子在探索①中O、A之間的加速運動，探索③中的勻速直線運動，可以求出電子的比荷，需測量O、A間的加速電壓
方案2：分析電子在探索②、③中的運動，可以求出電子的比荷，需測量P與P₁之間的距離
答：（1）電子在M、N間作勻速直線運動時的速度大小為$\frac{U}{Bd}$；
（2）電子在M、N間作勻速圓周運動的軌跡半徑r與L₁、L₂及y之間的關系式為$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
（3）若已知電子在M、N間作勻速圓周運動的軌跡半徑r，電子的比荷為$\frac{e}{m}=\frac{U}{{{B^2}dr}}$
（4）方案1：若忽略電子從陰極K發(fā)出的初速度，分析電子在探索①中O、A之間的加速運動，探索③中的勻速直線運動，可以求出電子的比荷，需測量O、A間的加速電壓
方案2：分析電子在探索②、③中的運動，可以求出電子的比荷，需測量P與P₁之間的距離

點評 本題為帶電粒子在電磁場中的運動規(guī)律，要注意明確電場中的類平拋；磁場中的圓周運動的分析解決方法．