Question

如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上一輕彈簧被ab兩小球夾住，同時(shí)釋放兩小球，ab球恰好能通過(guò)各自的圓軌道的最高點(diǎn)，求：
（1）在水平軌道上，彈簧彈開(kāi)兩小球時(shí)，a球的速度；
（2）兩小球的質(zhì)量比m_a：m_b；
（3）若m_a=m_b=m，要求ab還都能通過(guò)各自的最高點(diǎn)，彈簧釋放前至少具有多少?gòu)椥詣?shì)能．

Answer 1

分析：（1）ab球恰好能通過(guò)各自的圓軌道的最高點(diǎn)，均由重力提供向心力，可根據(jù)牛頓第二定律求出兩球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度；脫離彈簧到圓軌道最高點(diǎn)過(guò)程中，a球的機(jī)械能守恒，根據(jù)a球機(jī)械能守恒，求出彈簧彈開(kāi)兩小球時(shí)a球的速度；
（2）要彈簧釋放過(guò)程中，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即可由動(dòng)量守恒定律求出m_a：m_b；
（3）根據(jù)釋放過(guò)程系統(tǒng)的機(jī)械守恒，求解彈簧釋放前至少具有多少?gòu)椥詣?shì)能．

解答：解：（1）ab球恰好能通過(guò)各自的圓軌道的最高點(diǎn)，則有均由重力提供向心力，即有
對(duì)于a球：mag=ma

v ′2 a

R

得，

v

′ a

=

gR

同理得  

v

′ b

=

gr

a球脫離彈簧到圓軌道最高點(diǎn)過(guò)程機(jī)械能守恒：

1

2

ma

v

2 a

=mag?2R+

1

2

ma

v

′2 a

所以a球脫離彈簧時(shí)速度：va=

5gR

同理：vb=

5gr

（2）彈簧釋放過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律得：m_av_a=m_bv_b
得，

ma

mb

=

vb

va

=

r R

（3）若m_a=m_b=m，由動(dòng)量守恒定律得v_a=v_b=v
當(dāng)a球恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，E_彈最小，E彈=(

1

2

mgR+mg2R)×2=5mgR
答：（1）在水平軌道上，彈簧彈開(kāi)兩小球時(shí)，a球的速度是

5gR

；
（2）兩小球的質(zhì)量比m_a：m_b是

r

：

R

；
（3）若m_a=m_b=m，要求ab還都能通過(guò)各自的最高點(diǎn)，彈簧釋放前至少具有5mgR的彈性勢(shì)能．

點(diǎn)評(píng)：本題從分析兩球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度入手，根據(jù)彈簧釋放過(guò)程兩個(gè)基本規(guī)律：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒進(jìn)行分析求解．