Question

1．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用輕繩懸掛于O點(diǎn)，輕繩與豎直方向的夾角為θ，小球自A處?kù)o止釋放，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，輕繩恰好斷裂．已知B點(diǎn)、地面上的O′點(diǎn)都在懸掛點(diǎn)O的正下方，且OO′的距離為h，求：
（1）輕繩最大承受力為多大？
（2）若只改變繩長(zhǎng)，且繩的最大承受力不變，問繩長(zhǎng)為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)到地面上O′點(diǎn)的水平距離最大？最大的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）從A到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，根據(jù)在最低點(diǎn)，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出最大拉力．
（2）根據(jù)最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求出平拋運(yùn)動(dòng)水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)方法二次函數(shù)求極值，求出l為多少時(shí)，x最大．

解答 解：（1）設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩能承受的最大拉力為F_m，在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$，
從A到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgl（1-cosθ）$
解得：F_m=3mg-2mgcosθ．
（2）繩斷時(shí)球的速度為v₂．
有：${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l′}$，解得${v}_{2}=\sqrt{2g（1-cosθ）l′}$．
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為h-l′，水平位移為x，時(shí)間為t₂．
有：$h-l′=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂．
得$x=2\sqrt{（1-cosθ）（hl′-l{′}^{2}）}$
當(dāng)l=$\frac{h}{2}$時(shí)，x有極大值，最大${x}_{max}=h\sqrt{1-cosθ}$．
答：（1）輕繩最大承受力為3mg-2mgcosθ；
（2）若只改變繩長(zhǎng)，且繩的最大承受力不變，繩長(zhǎng)為$\frac{h}{2}$時(shí)，小球落地點(diǎn)到地面上O′點(diǎn)的水平距離最大，最大的水平距離為$h\sqrt{1-cosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源．