Question

如圖所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽，弧的半徑是R，所對圓心角小于10°，現(xiàn)在圓弧的右側(cè)邊緣M處放一個小球A，使其由靜止下滑，則：
（1）球由A至O的過程中所需時間t為多少？在此過程中能量如何轉(zhuǎn)化？（定性說明）
（2）若在圓弧的最低點O的正上方h處由靜止釋放小球B，讓其自由下落，同時A球從圓弧右側(cè)由靜止釋放，欲使A、B兩球在圓弧最低點O處相遇，則B球下落的高度h是多少？

Answer 1

分析：（1）由題，光滑圓弧形槽弧的半徑是R，所對圓心角小于10°，小球A在PQ兩點間做簡諧運動，類似于擺長為R的單擺，小球A從N到O的時間為

1

4

周期，周期T=2π

R g

．
在由A→O的過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能．
（2）根據(jù)高度求出B球下落的時間表達式．根據(jù)周期性得出時間與小球A周期的關(guān)系，再求解B球下落的高度h．

解答：解：（1）由單擺周期公式知球A的周期為：T=2π

R g

，則有：t_AO=

1

4

T=

π

2

R g

在由A→O的過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能．
（2）欲使A、B相遇，則兩球運動的時間相同，且必須同時到達O點，故由簡諧運動的周期性可知兩球相遇所經(jīng)歷的時間可以是（

1

4

+n）T或（

3

4

+n）T（n=0，1，2，3，…）
所以A球運動的時間必為

1

4

T的奇數(shù)倍，即：
t=

2h g

=

π

2

R g

（2n+1）
所以有h=

(2n+1)2π2

8

R（n=0，1，2，3，…）
答：（1）球由A至O的過程中所需時間t為=

π

2

R g

，在由A→O的過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能．
（2）欲使A、B兩球在圓弧最低點O處相遇，則B球下落的高度h是

(2n+1)2π2

8

R（n=0，1，2，3，…）．

點評：光滑圓弧形槽所對圓心角小于10°時類似單擺，做簡諧運動，俗稱槽擺，等效擺長等于半徑，具有周期性，第（2）不要當(dāng)特殊值去求．