Question

6．據(jù)報(bào)道，“嫦娥三號(hào)”將于2013年下半年擇機(jī)發(fā)射，如果嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在地球表面的重力為G₁，在月球表面的重力為G₂，已知地球半徑為R₁，月球半徑為R₂，地球表面處的重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)對(duì)計(jì)算的影響，求：
（1）嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T_月；
（2）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 根據(jù)重力提供向心力計(jì)算第一宇宙速度，在計(jì)算比值．忽略星球自轉(zhuǎn)，根據(jù)重力等于萬有引力計(jì)算星球的質(zhì)量之比．

解答 解：（1）如果嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在地球表面的重力為G₁，在月球表面的重力為G₂，地球表面處的重力加速度為g，
嫦娥三號(hào)質(zhì)量m=$\frac{{G}_{1}}{g}$
嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力得
G₂=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}_{月}^{2}}$R₂，
T_月=$\sqrt{\frac{{{{4π}^{2}G}_{1}R}_{2}}{{gG}_{2}}}$，
（2）忽略星球自轉(zhuǎn)，根據(jù)重力等于萬有引力得
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{G}_{2}R}_{2}^{2}}{{{G}_{1}R}_{1}^{2}}$，
（3）根據(jù)萬有引力等于向心力得
第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\frac{\sqrt{{{G}_{2}R}_{2}}}{\sqrt{{{G}_{1}R}_{1}}}$，
答：（1）嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期是$\sqrt{\frac{{{{4π}^{2}G}_{1}R}_{2}}{{gG}_{2}}}$；
（2）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比是$\frac{{{G}_{2}R}_{2}^{2}}{{{G}_{1}R}_{1}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比是$\frac{\sqrt{{{G}_{2}R}_{2}}}{\sqrt{{{G}_{1}R}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要要掌握重力等于萬有引力、萬有引力提供向心力這兩個(gè)基本思路，要能根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．