Question

19．反斗樂園中有一種游藝機(jī)，游戲者推出具有一定速度的小球，使小球經(jīng)過某一軌道后進(jìn)入一個(gè)球筐即可得分．現(xiàn)將其簡(jiǎn)化為如圖所示的模型，使一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的小球以某一初速度v₀進(jìn)入一段水平軌道，小球過Q點(diǎn)后沿一半徑為R=0.5m的半圓軌道運(yùn)動(dòng)，小球恰能通過半圓軌道最高點(diǎn)P，不計(jì)各處摩擦，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）小球的初速度v₀的大小；
（2）它運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N大�。�
（3）在與水平軌道平行且距離為R的空中有一個(gè)可以沿水平方向運(yùn)動(dòng)的球筐．若小球也恰能進(jìn)入此球筐，則球筐離豎直面PQ的距離L是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過半圓軌道最高點(diǎn)P，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出在P點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒求初速度．
（2）在Q點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解．
（3）小球從P點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解球筐離豎直面PQ的距離L．

解答 解：（1）小球剛好過軌道最高點(diǎn)P，則 $mg=m\frac{ν^2}{R}$ ①
從Q到P的過程由機(jī)械能守恒定律，得 $\frac{1}{2}mν_0^2=mg2R+\frac{1}{2}m{ν^2}$ ②
由①、②兩個(gè)方程可得   ${ν_0}=\sqrt{5gR}=\sqrt{5×10×0.5}m/s=5m/s$
（2）在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律  
 ${F_N}-mg=m\frac{ν_0^2}{R}$
得 ${F_N}=（0.1×10+0.1×\frac{5^2}{0.5}）N=6N$
由牛頓第三定律知對(duì)軌道的壓力F_N大小為 6N．
（3）小球從P點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平方向有 $L=νt=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2R}{g}}=\sqrt{2}R=\frac{{\sqrt{2}}}{2}m≈0.71m$
答：
（1）小球的初速度v₀的大小是5m/s；
（2）它運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N大小是6N；
（3）球筐離豎直面PQ的距離L是0.71m．

點(diǎn)評(píng) 本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，關(guān)鍵要掌握最高點(diǎn)的臨界速度的求法．運(yùn)用分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來源研究圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)．