Question

（2013?蘭州模擬）如圖所示，在xOy平面的第三象限有一場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場，電場的方向平行于y軸向上；在第四象限有一勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面．平面內(nèi)其他部分為真空．有一質(zhì)量為m，電荷量-q的質(zhì)點(diǎn)由電場左側(cè)平行于x軸以初速度v₀從A點(diǎn)射入電場．質(zhì)點(diǎn)到達(dá)x軸上M點(diǎn)時(shí)，速度方向與x軸的夾角為θ，M點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為d．接著，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場，并從y軸上的N點(diǎn)（圖中沒有畫出）垂直于y軸飛離磁場．不計(jì)重力影響．求
（1）A點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度強(qiáng)B的大小和方向；
（3）質(zhì)點(diǎn)從A到N的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度的分解得到質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求解．
（2）質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度為 v=

v0

cosθ

，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度強(qiáng)B的大小，由左手定則判斷B的方向．
（3）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)階段：電場中類平拋運(yùn)動(dòng)，無場區(qū)勻速直線運(yùn)動(dòng)，磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間，再求解總時(shí)間．

解答：解：（1）由題意可知質(zhì)點(diǎn)從電場中射出后，勻速直線運(yùn)動(dòng)至x軸，故其速度方向偏轉(zhuǎn)了θ，設(shè)從y軸上的N點(diǎn)射出電場時(shí)的速度大小為v，豎直分速度大小為v_y．
則有：v=

v0

cosθ

①
    v_y=at₁=v₀tanθ  ②
根據(jù)牛頓第二定律有：a=

Eq

m

  ③
①、③代入②得：t₁=

mv0tanθ

Eq

  ④
A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x_A=v₀t₁=

m v 2 0 tanθ

Eq

   ⑤
（2）質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)過y軸，故磁場的方向垂直紙面向里．
由洛倫茲力提供向心力qvB=

mv2

R

，R=

mv

Bq

⑥
由圖中的幾何關(guān)系可知  R=

d

sinθ

  ⑦
由①⑤⑥得：B=

mv0

dq

tanθ⑧
（3）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)階段，第一階段在電場中時(shí)間為 t₁=

mv0tanθ

Eq

      ⑨
 第二階段在第一象限勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂=

d

vcosθ

=

d

v0

⑩
 第三階段在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₃=

π-θ

2π

T=

(π-θ)m

Bq

=

d(π-θ)

v0tanθ

⑾
從A到M的總時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃=

mv0tanθ

Eq

+

d

v0

+

d(π-θ)

v0tanθ

⑿
答：
（1）A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

m v 2 0 tanθ

Eq

；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度強(qiáng)B的大小為

mv0

dq

tanθ，方向垂直紙面向里；
（3）質(zhì)點(diǎn)從A到N的時(shí)間是

mv0tanθ

Eq

+

d

v0

+

d(π-θ)

v0tanθ

．

點(diǎn)評：本題為電荷在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的題目，在電場中要能熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究，而在磁場中，注意找出圓心和半徑；同時(shí)要注意題目中哪些為已知量哪些為未知量．