2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專題四  解析幾何

考點(diǎn)一  曲線（軌跡）方程的求法

1.       設(shè)上的兩點(diǎn)，

滿足，橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

    （1）求橢圓的方程；

    （2）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

    （3）試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 解析：本例（1）通過(guò)，，及之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過(guò)直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達(dá)定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。

 答案：（1）

橢圓的方程為 

   （2）設(shè)AB的方程為

由

由已知

    2

  （3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn).S_△AOB=1    

當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值.

  點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質(zhì)，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

2.       在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足① ,  ②= = ③∥    

（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程

（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知∥ ,  ∥且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達(dá)點(diǎn)特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，靈活的運(yùn)算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。

 答案：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由①知,G為        

△ABC的重心 ，    G(,)   由②知M是△ABC的外心，M在x軸上

 由③知M（，0），

由  得

化簡(jiǎn)整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰為的右焦點(diǎn)

  設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±，則直線PQ的方程為y = k ( x －)

由

設(shè)P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  則x₁ + x₂ =  ,    x₁?x₂ =        

則| PQ | = ?

       =  ?

       =  

  RN⊥PQ,把k換成得 | RN | =   

  S =| PQ | ? | RN |

      =  =) 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (當(dāng) k = ±1時(shí)取等號(hào))

又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2

綜上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =   

  點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的有關(guān)知識(shí)，橢圓與直線的基本關(guān)系，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

考點(diǎn)二  圓錐曲線的幾何性質(zhì)

3.       如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)  P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)  已知四邊形為平行四邊形， 

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程 

分析:  圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點(diǎn)。注意靈活應(yīng)用第二定義。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又， 

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求

點(diǎn)評(píng)：本題靈活的運(yùn)用到圓錐曲線的第二定義解題。

4.       設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線 

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)， 若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi) 

分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝ 

故橢圓的方程為   

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

設(shè)M（x₀，y₀） 

∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）                 1

又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得

P（4，） 

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        2

將1代入2，化簡(jiǎn)得?＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點(diǎn)M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡(jiǎn)后可得－＝ 

從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力

考點(diǎn)三  直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題

5.       已知拋物線C：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；

（3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題．

    例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．

   現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C：于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F。

   試給出上述命題的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題。

解析：

答案：解：（1）

（2）設(shè)（t>0），則，F(xiàn)(1,0)。

因?yàn)镸、F、N共線，則有，

所以，解得，

所以，

因而，直線MN的方程是。

（3）“逆向問(wèn)題”一：

①已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)定點(diǎn)。

證明：設(shè)過(guò)F的直線為y=k(x)，，，則

由得，所以， ， =，

所以直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)A。

②過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)P與拋物線交于另一點(diǎn)R，則RQ垂直于x軸。

③已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)定點(diǎn)A(-m,0)。

 “逆向問(wèn)題”二：已知橢圓C：的焦點(diǎn)為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過(guò)F₂的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)定點(diǎn)。

 “逆向問(wèn)題”三：已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過(guò)F₂的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)定點(diǎn)。

考點(diǎn)四  圓錐曲線的應(yīng)用

（1）．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。

6.       （2004年全國(guó)高考天津理科22題）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C＞0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A，，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；

（3）設(shè) A P =  AQ（＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行與準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明  FM = - FQ 。

分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點(diǎn)就是要熟悉這種二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的中心、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解：（1）根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C＞0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A�！� 可設(shè)橢圓的方程為 （a＞），從而有；又因可以有，聯(lián)系以上這兩個(gè)關(guān)于a、c的方程組并解得a=，c=2，所以橢圓的方程為，離心率e=。

（2）根據(jù)已知條件 “O P?O Q = 0” ，我們可設(shè) P ，Q，把兩個(gè)向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的形式，再根據(jù)直線 PQ 經(jīng)過(guò) A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點(diǎn)又在橢圓上，因此，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^(guò)直線y=k（x-3）與橢圓，聯(lián)系方程組消去一個(gè)未知數(shù)y（或x）得，并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合及不難求出k=，這里應(yīng)特別注意K的值要保證＞0成立，否則無(wú)法保證直線PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)。

（3）要證F M =- F Q ，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^(guò)式中兩個(gè)向量FM、FQ的坐標(biāo)之間關(guān)系來(lái)謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過(guò)點(diǎn)P且平行為準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M”，求得點(diǎn)M坐標(biāo)為。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個(gè)縱坐標(biāo)已經(jīng)滿足，所以現(xiàn)在要考慮的問(wèn)題是如何證明FM、FQ的兩個(gè)橫坐標(biāo)應(yīng)該滿足，事實(shí)上，

注意到＞1，解得    ⑤

因F（2，0），M，故FM==。

  ==

又FQ=，因此FM=-FQ。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問(wèn)題和綜合解題能力。

把兩個(gè)向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，再通過(guò)代數(shù)運(yùn)算的方法來(lái)解決有關(guān)向量的問(wèn)題是一種常用的解題手段。

7.       （江蘇卷）已知，記點(diǎn)P的軌跡為E.

   （1）求軌跡E的方程；

   （2）若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).

       （i）無(wú)論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.

       （ii）過(guò)P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.

解析：

答案：解：（1）由知，點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

   （2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

    解得k² >3

   （i）