1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求證 En >= 0 對于n=3或5成立,而對于其他自然數(shù)n>2不成立。
2. 凸多邊形 P1 的頂點是 A1, A2, ... , A9,若將頂點 A1 平移至Ai 時則 P1 平移成了多邊形 Pi ,求證 P1, P2, ... , P9 之中至少有兩個具有一共同內(nèi)點。
3. 求證能夠找到一個由形式 2n - 3 (n是正整數(shù))的整數(shù)構(gòu)成的集合并滿足任何兩個元素互質(zhì)。
4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形,在線段AB上取一內(nèi)點X,現(xiàn)在BC上取內(nèi)點Y,CD上取內(nèi)點Z,AD上內(nèi)點T。求證:
5. 對任何自然數(shù) m ,求證存在平面上一有限點集 S,滿足:對S中的每一個點 A,存在S中的恰好 m 個點與 A的距離為單位長。
6. 設(shè) A = (aij),其中 i, j = 1, 2, ... , n,是一個方陣,元素 aij 都是非負整數(shù)。若 i、j使得aij = 0,則第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求證:該方陣中所有元素之和 大于或等于n2/2。
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