1.  三個玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個正整數(shù)，并且每張牌上的數(shù)都不相同。在每一輪游戲中都是隨機的把卡片分給這些玩家，然后每個玩家拿到所分得卡片上數(shù)目的籌碼。當游戲進行時，玩家手上的籌碼自然是越來越多。假設游戲至少進行了兩輪以上。在最后一輪結(jié)束時，第一個玩家有籌碼20個，第二個玩家有10個，第三個玩家有9個。又已知在最后一輪游戲中第三個玩家拿到的是最大數(shù)目的籌碼。試問，在第一輪游戲中哪個玩家收到了中間數(shù)量的籌碼？

2.  三角形ABC，求證在邊AB上存在一點D使得CD是AD、DB的幾何平均值的充要條件是

sin A sin B <= sin²(C/2).

3.  試證明對任意非負整數(shù)n，下式都不能被5整除：

∑  C(2n+1,2k+1)2^3k，

上式中的求和是k從0到n，符號 C(r,s) 表示二項式系數(shù) r!/(s!(r-s)!)。

4.  沿著一個 8 x 8 象棋盤（黑白相間）中的線將其分割成p個不相交的長方形，使得每個長方形內(nèi)的黑白小方格的數(shù)目一樣，并且每個長方形中小方格的數(shù)量也都不一樣多。求出所有可能p值中的最大值；并對這樣的最大值求出所有可能的分法（即求出那些長方形的大�。�。

5.  a,b,c,d是任意實數(shù)，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

6.  設 P(x) 是一個指數(shù)d>0的整系數(shù)多項式，n是P(X)=1或-1的不同整根的個數(shù)，則有 

n <= d + 2.