1.  m、n都是正整數(shù)且n>m。如果1978^m 和1978ⁿ的十進(jìn)制表示法的末三位數(shù)字相同，試求滿足此條件并使m+n達(dá)到最小的m與n。

2.  P是某已知球內(nèi)部一點(diǎn)，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC決定的平行六面體與P點(diǎn)對(duì)角相向的頂點(diǎn)為Q，試求出Q點(diǎn)的軌跡。

3.  兩不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整數(shù)，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(shù)(n) = f(f(n)) + 1對(duì)所有n=1,2,3, ...成立。試計(jì)算f(240)。

4.  等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圓的內(nèi)部有一與其相切的一個(gè)小圓，該小圓又分別與AB、AC相切于P、Q兩點(diǎn)。求證：線段PQ的中點(diǎn)恰為三角形ABC內(nèi)切圓的圓心。

5. 令{a_k} 為互不相同的正整數(shù)數(shù)列，求證對(duì)于所有的正整數(shù)n，有

∑a_k/k² >=　∑1/k；

上式中兩邊的求和都是k從1到n。

6. 某國(guó)際組織共有來(lái)自六個(gè)國(guó)家的共1978名會(huì)員，會(huì)員編號(hào)分別是1,2,...,1978。求證至少有某一會(huì)員的編號(hào)，恰為與他同國(guó)家的另外兩位會(huì)員編號(hào)的和，或者是他同國(guó)家的兩外一名會(huì)員編號(hào)的兩倍。