1. 在坐標(biāo)平面上，具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成單位邊長(zhǎng)的正方格的頂點(diǎn)。這些正方格被涂上黑白相間的兩種顏色（像棋盤一樣）。對(duì)于任意一對(duì)正整數(shù)m和n，考慮一個(gè)直角三角形其頂點(diǎn)具有整數(shù)坐標(biāo)，兩腰長(zhǎng)分別為m和n，且其兩腰都在這些正方格的邊上。 設(shè)S₁為這個(gè)三角形區(qū)域中所有黑色部分的總面積，S₂則為所有白色部分的總面積。 令f(m,n)=|S₁-S₂|，

2. 設(shè)∠A是△ABC中最小的?角。B和C將此三角形的外接圓分成兩個(gè)弧。U為落在不含A點(diǎn)的弧上且異于B,C的一點(diǎn)。線段AB,AC的垂直平分線分別交AU于V,W。
直線BV, CW相交于T，

求證：AU＝TB＋TC。

3. x₁,x₂,...,x_n是正實(shí)數(shù)滿足|x₁+x₂+...x_n|=1 且對(duì)所有i有|x_i|≤(n+1)/2。

試證明存在x₁,x₂,...,x_n的一個(gè) 排列y₁,y₂,...,y_n滿足

|y₁+2y₂+...+ny_n|≤(n+1)/2。 

4. 一個(gè)n×n的矩陣稱為一個(gè)n階“銀矩陣”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且對(duì)于每一個(gè)i=1,2，...,n，它的第i列與第i行中的所有元素合起來(lái)恰好是S中的所有元素。求證：

5. 試找出所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)滿足

a

b²

=

b

a

6. 對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，將n表示成2的非負(fù)整數(shù)次方之和，令f(n)為正整數(shù)n的上述不同表示法的個(gè)數(shù)。如果倆個(gè)表示法的差別僅在于他們中各個(gè)數(shù)相加的次序不同，這兩個(gè)表示法就被視為是相同的。例如，f(4)=4，因?yàn)?恰有下列四種不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求證：對(duì)于任意整數(shù)n≥3，  

2

n²/4

< f(2ⁿ)<

2

n²/2