2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導四

難點4  三個“二次”及關系

三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關.本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.

●難點磁場

已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x²－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負的，求關于x的方程=|a－1|+2的根的取值范圍.

●案例探究

［例1］已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于★★★★★題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結合.

錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉化.

(1)證明：由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+c²］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c²>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.

(2)解：設方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁和x₂,則x₁+x₂=－,x₁x₂=.

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)

∵的對稱軸方程是.

∈(－2,－)時，為減函數(shù)

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

［例2］已知關于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內，另一根在區(qū)間(1，2)內，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內，求m的范圍.

命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質所具有的意義.

錯解分析：用二次函數(shù)的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點.

技巧與方法：設出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)性質加以限制.

解：(1)條件說明拋物線f(x)=x²+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內，畫出示意圖，得

∴.

(2)據拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內，列不等式組

(這里0<－m<1是因為對稱軸x=－m應在區(qū)間(0，1)內通過)

●錦囊妙計

1.二次函數(shù)的基本性質

(1)二次函數(shù)的三種表示法：

y=ax²+bx+c;y=a(x－x₁)(x－x₂);y=a(x－x₀)²+n.

(2)當a>0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x₀= (p+q).

若－<p,則f(p)=m,f(q)=M;

若p≤－<x₀,則f(－)=m,f(q)=M;

若x₀≤－<q,則f(p)=M,f(－)=m;

若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m.

2.二次方程f(x)=ax²+bx+c=0的實根分布及條件.

(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a?f(r)<0;

(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r

(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內有兩根

(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內只有一根f(p)?f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內成立.

(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q).

3.二次不等式轉化策略

(1)二次不等式f(x)=ax²+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;

(2)當a>0時，f(α)<f(β) |α+|<|β+|,當a<0時，f(α)<f(β)|α+|>

|β+|;

(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或

(4)f(x)>0恒成立

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：由條件知Δ≤0,即(－4a）²－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2

(1)當－≤a＜1時，原方程化為：x=－a²+a+6,∵－a²+a+6=－(a－)²+.

∴a=－時，x_min=,a=時，x_max=.

∴≤x≤.

(2)當1≤a≤2時，x=a²+3a+2=(a+)²－

∴當a=1時，x_min=6,當a=2時，x_max=12,∴6≤x≤12.

綜上所述,≤x≤12.

殲滅難點訓練

一、1.解析：當a－2=0即a=2時,不等式為－4＜0,恒成立.∴a=2,當a－2≠0時，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2.

答案：C

2.解析：∵f(x)=x²－x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),

∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.

答案：A

二、3.解析：只需f(1)=－2p²－3p+9>0或f(－1)=－2p²+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ).

答案：(－3，）

4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標較小，

∴|1－2x²－2|＜|1+2x－x²－2|,∴－2＜x＜0.

答案：－2＜x＜0

三、5.解：(1）由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,?

∴l(xiāng)og_ay=x²－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+ (x≠0),則y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

則u=(x－)²+在(0，2上應有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，則u=(x－)²+,x∈(0,2應有最小值

∴當x=時，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

6.解：∵f(0)=1>0

(1)當m＜0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側，符合題意.

(2）當m>0時，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

7.證明：(1)

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①當p＜0時，由(1）知f()＜0

若r>0,則f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內有解;

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內有解.

②當p＜0時同理可證.

8.解：(1）設該廠的月獲利為y,依題意得?

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當月產量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元，

∴當月產量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.