江蘇省蘇北四市2009屆高三第三次調(diào)研考試

       數(shù)學試題                    2009．3.31

注意事項：

1．本試卷分填空題和解答題兩部分，共160分．考試用時120分鐘．

2．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內(nèi)．答題時，填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應題目的空格內(nèi)，答案寫在試卷上無效．本卷考試結束后，上交答題紙．

3．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．

4．文字書寫題統(tǒng)一使用0.5毫米及0.5毫米以上簽字筆．

5．作圖題可使用2B鉛筆，不需要用簽字筆描�。�

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分. 不需寫出解答過程．請把答案直接填寫在答案卷上.

1、已知集合若，則實數(shù)m的值為             

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2、若復數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為        

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3、一個幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形，其俯視圖是直徑為的圓，則該幾何體的表面積為              

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4、如圖，給出一個算法的偽代碼，

   Read    x

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  If  

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則           

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5、已知直線的充要條件是a=       

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6、高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，┅，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為  

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7、在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機抽出3道題回答，答對其中2道題即為及格，若一位考生只會答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為     

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8、設方程        

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9、已知函數(shù)的值為      

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10、已知平面區(qū)域，若向區(qū)域U內(nèi)隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為     

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11、已知拋物線到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a=    

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12、已知平面向量的夾角為，           

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13、函數(shù)上的最大值為        

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14、如圖，將平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按如下規(guī)則表上數(shù)字標簽：原點處標0，點（1，0）處標1，點（1，-1）處標2，點（0，-1）處標3，點（-1，-1）處標4，點（-1，0）標5，點（-1，1）處標6，點（0，1）處標7，以此類推，則標簽的格點的坐標為                 

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二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15．（本題滿分14分）

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在斜三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且.

(1)求角A；

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(2)若，求角C的取值范圍。

 

 

 

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16．（本題滿分14分）

在在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，求證：

（1）平面BDO⊥平面ACO；

（2）EF//平面OCD.

 

 

 

 

 

 

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17、（本題滿分14分）

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  已知圓O的方程為且與圓O相切。

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（1）求直線的方程；

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（2）設圓O與x軸交與P,Q兩點，M是圓O上異于P,Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為，直線PM交直線于點，直線QM交直線于點。求證：以為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標。

 

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18、（本題滿分16分）

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  有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定。大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長l(m)的關系滿足：（k為正的常數(shù)），假定車身長為4m，當車速為60（km/h)時，車距為2.66個車身長。

（1）寫出車距d關于車速v的函數(shù)關系式;

（2）應規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時通過的車輛最多？

 

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19、（本題滿分16分）

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 已知函數(shù)

（1）試求b,c所滿足的關系式；

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（2）若b=0，方程有唯一解，求a的取值范圍；

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（3）若b=1，集合，試求集合A.

 

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20、（本題滿分16分）

 

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已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d>0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后，所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為q.

(1)若a=1,m=1,求公差d；

(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m個數(shù)的乘積（用a,c,m表示）

(3)求證：q是無理數(shù)。

 

 

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中點，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直線過點，且與圓：相切，

設直線的方程為，即，　…………………………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即． …… …………………4分

（2）對于圓方程,令，得,即．又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為，設，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圓經(jīng)過定點，只需令，從而有，解得，

∴圓總經(jīng)過定點坐標為． …………………………………………… 14分

18．⑴因為當時，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵設每小時通過的車輛為，則．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，當且僅當，即時，取最大值．

答：當時，大橋每小時通過的車輛最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所滿足的關系式為．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化為，

令，則由題意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

當時，由，可知是增函數(shù)；

當時，由，可知是減函數(shù)．故當時，取極大值．………6分

由函數(shù)的圖象可知，當或時，方程有且僅有一個正實數(shù)解．

故所求的取值范圍是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

當時， ；當時，；

當時（），；當時，且；

當時，∪． ………………………16分

注：可直接通過研究函數(shù)與的圖象來解決問題．

20．（1）由，且等差數(shù)列的公差為，可知，

若插入的一個數(shù)在之間，則，，

消去可得，其正根為． ………………………………2分

若插入的一個數(shù)在之間，則，，

消去可得，此方程無正根．故所求公差．………4分

（2）設在之間插入個數(shù)，在之間插入個數(shù)，則，在等比數(shù)列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都為奇數(shù)，∴可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)．

①若為正數(shù)，則…，所插入個數(shù)的積為；

②若為負數(shù)，…中共有個負數(shù)，

當是奇數(shù)，即N*)時，所插入個數(shù)的積為；

當是偶數(shù)，即N*）時，所插入個數(shù)的積為．

綜上所述，當N*)時，所插入個數(shù)的積為；

當N*）時，所插入個數(shù)的積為．…………10分

注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進行求解．

（3）∵在等比數(shù)列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假設是有理數(shù)，若為整數(shù)，∵是正數(shù)，且，∴，

在中，∵是的倍數(shù)，故1也是的倍數(shù)，矛盾．

若不是整數(shù)，可設（其中為互素的整數(shù)，），

則有，即，

∵，可得，∴是x的倍數(shù)，即是x的倍數(shù)，矛盾．

∴ 是無理數(shù)．……………………………………16分

 

 

附加題部分

21B．設為曲線上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點，

則有，…………………………………………………………4分

即      ∴…………………………………8分

又因為點P在曲線上，所以，

故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分

21C．將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      …………………4分

直線方程的普通方程為，                       ………………6分

圓的圓心到直線的距離，………………………………………………………8分

故所求弦長為．   ………………………………………………10分

21D．由柯西不等式可得

 ．…10分

22．以點為坐標原點, 以分別為軸,

建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 則

,∴ ,


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