2008-2009下學期校一模高三

文科數(shù)學試題

                

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知i為虛數(shù)單位，則（i）（ i）=

A．0             B．1                C．2             D．2i

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2．在等比數(shù)列｛an｝中，已知 ，則

A．16            B．16或－16        C．32             D．32或－32   

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3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，則實數(shù)的值為

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A．            B．             C．             D．

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4．經過圓的圓心且斜率為1的直線方程為       

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A．             B．   

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C.               D．

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5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，

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則

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A．                       B．       

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C．                     D．

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6. 圖1是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，

則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是

A．62        B．63          C．64         D．65                                                    

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7. 已知，則

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A．         B．      C．          D．

 

 

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8. 命題“”的否命題是

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A.       B.若，則

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C.       D.

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9．圖2為一個幾何體的三視圖，正視圖和側視圖均為矩形，俯視 

圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的側面積為

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A．6           B． 24        C．12           D．32                          

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10. 已知拋物線的方程為，過點和點的直

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線與拋物線沒有公共點,則實數(shù)的取值范圍是 

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    A.           B.     

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C.      D.    

（一）必做題（11～13題）

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二、填空題: 本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．  

11. 函數(shù)的定義域為              .

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12．如圖3所示的算法流程圖中，輸出S的值為           .                      圖3

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13．已知實數(shù)滿足則的最大值為_______．             

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

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14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標系中圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________．

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15．（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓外一點，過引圓的

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兩條割線、，，，

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則___          _．                                                                        

                                                                      

 

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三、解答題: 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16．(本小題滿分12分)

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 已知R.

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（1）求函數(shù)的最小正周期;

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（2）求函數(shù)的最大值，并指出此時的值．

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17. (本小題滿分12分)

某校高三文科分為四個班.高三數(shù)學調研測試后, 隨機地

在各班抽取部分學生進行測試成績統(tǒng)計,各班被抽取的學

生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了22人.

抽取出來的所有學生的測試成績統(tǒng)計結果的頻率分布條形

圖如圖5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)

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的頻率為0.05,此分數(shù)段的人數(shù)為5人.                     0

        (1) 問各班被抽取的學生人數(shù)各為多少人?

   (2) 在抽取的所有學生中,任取一名學生, 求分數(shù)不小于90分的概率.           圖5

                                                         

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18．(本小題滿分14分)

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如圖6，已知四棱錐中，⊥平面，

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 是直角梯形，，90º，．

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（1）求證：⊥；

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（2）在線段上是否存在一點，使//平面，

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   若存在，指出點的位置并加以證明；若不存在，請說明理由.

                                                            

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19. (本小題滿分14分)

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設橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩

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焦點的距離之和為4.

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(1)求橢圓的方程；

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（2）橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求的取值范圍.

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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設數(shù)列的前項和為，且 . 

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：.

 

 

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21. （本題滿分14分）

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已知函數(shù) (R)．

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(1)  當時，求函數(shù)的極值；

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（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

 

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                       

                                         

             .                                6分

∴.                                            8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 . ……………………10分

此時，即Z. ……………………12分

 

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數(shù)為人. ………… 3分

∵各班被抽取的學生人數(shù)成等差數(shù)列,設其公差為,

由=100,解得.  …………………………………… 6分

∴各班被抽取的學生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分

(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數(shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.  ………………………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.             ………………………………………………2分

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面， ……………………………………………………4分

∵ 平面，

∴ ⊥.      …………………………………………………………6分

（2）法1: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  …………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.       …………………………………… 13分

∴ 線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分

 法2: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△的中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵平面, 平面,

∴平面.                        

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  ……………………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                       

∵,

∴平面平面.……………………………………………………12分

∵平面,

∴∥平面.                                         

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．………………………………   14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,      …………………………………………2分            

    ∵,

∴.    ………………………………………… 5分

∴所求橢圓的方程為.  …………………………………………6分

（2）∵ 點關于直線的對稱點為，

∴                                        

解得：，.          …………………………8分

 

∴.                            ……………………………10分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.………………………………………………12分

∴的取值范圍為.      …………………………………………14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當時，.　               ……………………………………1分                       

　  當時，

.               …………………………………………4分

∵不適合上式,

∴　　    ………………………………………………………5分

（2）證明: ∵.

當時，            ………………………………………………6分

當時，,　　　       ①

.　 �、�

①－②得:

　 　             

得，     …………………………………………10分

此式當時也適合.

∴N.　　                              

　         　∵，

∴.                   …………………………………………………11分

當時，，

∴.                                    

∵，

∴.　                                    

故，即.   ……………………………………………13分

綜上，．       ………………………………14分

 

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .     ………………………………………………2分

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.         …………………………2分

∴ 當時, 取得極大值為;…………………………4分

當時, 取得極小值為. ………………………6分

 

 

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                         

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．   ……………………9分

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                        

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

 

ㄋ

極小值

 

ㄊ

                                    

∵,

∴.

∴

        

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x1）?f（x2）＞0,  解得a＞．                                    

          而當時,,

          故當時, 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.                                     

綜上所述，a的取值范圍是．            ……………………………………14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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