雅禮中學(xué)2007屆高三4月質(zhì)檢試題
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1．已知函數(shù)
，
，則
的值為
A．
B．
D．3
【解析】
，
故選A.
2．設(shè)全集
是實(shí)數(shù)集
. 
與
都是的子集（如圖所示）， 則陰影部分所表示的集合為
A．
B．
C．
D．
【解析】
，
，
，根據(jù)圖形所得陰影部分即為
，故選C.
3．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是
（
表示時(shí)間，單位：秒；
表示位移，單位：米），則瞬時(shí)速度為
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
【解析】函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得
，解得
，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義知選D.
4．有共同底邊的等邊三角形
和
所在平面互相垂直，則異面直線
和
所成角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
【解析】取
的中點(diǎn)
，以
為
軸建立空間直角坐標(biāo)系
，不妨設(shè)等邊三角形的邊長為2，則
，
，
，
，
，
，
，故選B.
5．在等差數(shù)列
中，若
，則
的值為
A．4
B．
【解析】由
，
，故選C.
6．若
，
，則
成立的一個(gè)充分不必要條件是
A．
B．
C．
D．
【解析】
，故選A.
7．對(duì)于虛數(shù)
，作集合
，易知，
中任何兩個(gè)元素相乘的積仍然在中，現(xiàn)規(guī)定中關(guān)于乘法的單位元
：即對(duì)任意的
，都有
，則為
A．
B．
C．
D．
【解析】根據(jù)題目給出的信息即知選D.
8．
表示不超過
的最大整數(shù)(稱為的整數(shù)部分)，則方程
在
上的根有
A．1個(gè) B．3個(gè) C．5 個(gè) D．無窮多個(gè)
【解析】
，結(jié)合函數(shù)的圖像知有三個(gè)根
、0、1，故選B.
9．設(shè)圓
：
，直線
，點(diǎn)
，使得存在點(diǎn)
，使
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
【解析】依題意可得
，結(jié)合
，即得
，故選C.
10．平面上有相異的11個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連成一條直線，共得48條直線，則任取其中的三個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成三角形的概率是
A．
B．
C．
D．
【解析】設(shè)有
組共線的點(diǎn)，每組點(diǎn)數(shù)不小于3，依次記為
，則有
，而
，所以
，當(dāng)
時(shí)無整數(shù)解；當(dāng)
時(shí)，有整數(shù)解
，因此三角形數(shù)為
，根據(jù)古典概率的定義有所求概率為
.故選B.
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上．
11．已知函數(shù)
，且
，那么
.
【解析】
，
故
12．
.
【解析】
13．若橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
、
，線段
被拋物線
的焦點(diǎn)分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為
.
【解析】根據(jù)題意，得
，解得
14．
展開式中常數(shù)項(xiàng)（不含x的項(xiàng)）的和為
，則
的最簡表達(dá)式是
.
【解析】展開式的常數(shù)項(xiàng)為
，也可以倒序?qū)懗?/p>
，兩式相加即得
，故
15．已知△中，過重心
的直線交邊
于
，交邊
于
，設(shè)△
的面積為
，△
的面積為
，
，
，則（?）
，（?）
的取值范圍是
.
【解析】設(shè)
，
，
，
，因?yàn)?sub>是△的重心，故
，又
，
，因?yàn)?sub>
與
共線，所以
，即
，又
與
不共線，所以
及
，消去
，得
.
（?）
，故
；
（?）
，那么
，當(dāng)與
重合時(shí)，
，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，
，故
，故
但因?yàn)?sub>與不能重合，故
三．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本題滿分12分）若函數(shù)
的圖像與直線
相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為
的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)
是
圖像的對(duì)稱中心，且
[0,
]，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解：（Ⅰ）
…（4分）
∵的圖像與相切.
∴m為
的最大值或最小值. 即
或
…（6分）
（Ⅱ）又因?yàn)榍悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為
的等差數(shù)列．所以最小正周期為.
又
， 所以
…（8分）
即
…（9分）
令
．則
∴
…（10分）
由0≤
≤
得
或
,因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為
、
．（12分）
17．（本題滿分12分）有一個(gè)4×5×6的長方體, 它的六個(gè)面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個(gè)長方體鋸成120個(gè)1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機(jī)地任取1個(gè).
（Ⅰ）設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（Ⅱ）如每次從中任取一個(gè)小正方體，確定涂色的面數(shù)后，再放回，連續(xù)抽取6次，設(shè)恰好取到兩面涂有顏色的小正方體次數(shù)為
. 求的數(shù)學(xué)期望.
解：（Ⅰ）分布列
0
1
2
3
p
… （8分）
E=0×+1×+2×+3×=
…（10分）
（Ⅱ）易知～B(6, ), ∴ E=6×=1.8 …（12分）
18．（本題滿分12分）如圖，等腰直角△中，
，
平面，
∥
，
.
（Ⅰ）求二面角
的大小；
（Ⅱ）求點(diǎn)
到平面
的距離；
（Ⅲ）證明五點(diǎn)
在同一個(gè)球面上，并求
兩點(diǎn)的球面距離.
解：方法一
（Ⅰ）取
的中點(diǎn)，連結(jié)
，由
知
，又
，故
，所以
即為二面角的平面角.
在△
中，
，
，
，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是
.（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面，故平面
平面，故在平面
上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
故
.…（10分）
（Ⅲ）易證△
為直角三角形，且
，取
的中點(diǎn)，則由四邊形
是矩形知
，故五點(diǎn)在以為球心，為直徑的球面上，故兩點(diǎn)之間的球面距離就是半個(gè)大圓的弧長，是
（12分）
方法二
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過垂直于的直線為軸，以所在直線為
軸，
為
軸建立空間直角坐標(biāo)系
，如圖所示.（1分）
（Ⅰ）則
，
，
，
，設(shè)
是平面的法向量，則有
，即
，取
，
得
，易知平面
的一個(gè)法向量為
，
，故所求的角為
.（6分）
（Ⅱ）
，故點(diǎn)到平面的距離為
.（10分）
（Ⅲ）易知的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
，故
，
而
，故五點(diǎn)在以為球心，為直徑的球面上，故兩點(diǎn)之間的球面距離就是半個(gè)大圓的弧長，是（12分）
19．（本題滿分12分）一艘輪船在相距
貨幣單位，輪船行駛的最大速度是每小時(shí)25海里.
問：此船從甲地行駛至乙地最經(jīng)濟(jì)的行船速度是多少？
解：設(shè)從甲地到乙地的行船速度為每小時(shí)
海里，則需要的時(shí)間為
小時(shí)，耗油量
，設(shè)耗油費(fèi)用為
貨幣單位，由已知，當(dāng)
時(shí)，耗油量
，耗油費(fèi)為500貨幣單位，故
，
故行船的總費(fèi)用為
貨幣單位…（4分）
上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得
，令
，即
，
解得
…（6分）
又
①當(dāng)
，即
時(shí)，當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，
，故
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，而在
上連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，取到最小值…（9分）
②當(dāng)
，即
時(shí)，則對(duì)
總有，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)
時(shí)，有最小值.
綜上所述知，當(dāng)時(shí)，輪船行駛的速度應(yīng)為每小時(shí)
海里最經(jīng)濟(jì)；當(dāng)時(shí)，輪船的行駛速度是每小時(shí)25海里最經(jīng)濟(jì). …（12分）
20．（本題滿分13分）不等式
同步練習(xí)冊(cè)答案
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