雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時(shí)量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

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2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                            （   ）

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A                   B     

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C                        D 

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3．下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)有                                                                           （   ）

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       ①                                 ②

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       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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5．已知的前n項(xiàng)和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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6．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個(gè)數(shù)為                                                    （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

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7．如圖,設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

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A  2             B              

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C  3             D   

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8． 已知點(diǎn)P 是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

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    A  5              B  4                 C              D

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      A  
      

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      B  
      

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      C  
      

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      D  
      

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      10．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個(gè)偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個(gè)數(shù)是                                                 
（   ）
      A  3844              B  3943                 C 
3945                 D  4006
       
      

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      二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
      11．某校為了了解高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全段600名學(xué)生中抽取60名進(jìn)行體檢，如果在抽取的學(xué)生中有男生36名，則在高三年級(jí)中共有女生      名．
      

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      12．，則               
 
      

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      13．通過兩個(gè)定點(diǎn) 且在軸上截得的弦長(zhǎng)等于的圓的方程是      
      

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      14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.
      

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      （）當(dāng)滿足條件           時(shí)，m∥β；
      

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      （）當(dāng)滿足條件           時(shí)，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號(hào)）
      

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      15．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意，，有，，則
      

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      （）    
  ；
      

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      （）若記，那么         
       
      

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      三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
      16．（本小題滿分12分）
      

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      已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且， 
      

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      （Ⅰ）求；                 

      

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      （Ⅱ）求的面積。
       
      

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      17．（本小題滿分12分）
      

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      　　設(shè)輪船有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，輪船有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，如果半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)沒有故障，輪船就能夠安全航行．現(xiàn)設(shè)每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù)：（其中為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間,為正常數(shù)，每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)工作相互獨(dú)立）．
      

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      （Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；
      

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      （Ⅱ）根據(jù)時(shí)間的變化，比較輪船和輪船哪一個(gè)更能安全航行（除發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障外，不考慮其他因素）．
       
      

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      18．（本小題滿分12分）
      

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      如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.
      

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      （Ⅰ）求二面角的大��；
      

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      （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；
      

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      19．（本小題滿分13分）
      如圖所示，某校把一塊邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.
      （Ⅰ）設(shè)AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；?
      （Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長(zhǎng)，DE的位置又應(yīng)該在哪里?請(qǐng)給予證明.?
      

      試題詳情
      

       
       
       
       
       
      

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      20．（本小題滿分13分）
      

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      如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，線段為橢圓的長(zhǎng)軸，已知，且．
      

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      （Ⅰ）求證：對(duì)于任意的割線，恒有；
      

      試題詳情
      

      （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．
       
       
       
       
      

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      21．（本小題滿分13分）
      

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      已知點(diǎn)是且
      

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      （Ⅰ）求的定義域；
      

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      （Ⅱ）求證：；
      

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      （Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項(xiàng)和
       
       
       
      

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      一、選擇題：ADBAA    BCCDB
      二、填空題
      11.;        12． ;         
13． 
      14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
      三、解答題：
      16．解：（1）
                                                                      …………5分
      由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                          …………6分
      （2）由余弦定理
      得ac=2                                                                                                        …………11分
      =                                                                          …………12分
      17.解：（Ⅰ）．
      （Ⅱ）．
      1當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．
      2當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船和輪船一樣安全．
      3當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．
      解：方法一
      （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
      在△中，，，，
      由余弦定理有
      ，
      所以二面角的大小是.（6分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
      故.                            
…（12分）
       
      19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長(zhǎng)為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
      ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
      ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
      解得AE＝，?
      在△ADE中，由余弦定理:?
      y2＝x2＋?cos60°，?
      ∴y2＝x2＋－2a2
      ∴y＝  (a≤x≤2a)?
      （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
      且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
      當(dāng)t∈（a2，2a2）時(shí)，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
      f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
      ＝（t1－t2）?，?
      ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
      ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
      ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
      ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?
      同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?
      又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當(dāng)t＝2a2時(shí)，f（x）有最小值，即x＝a時(shí)，y有最小值，且ymin＝a，此時(shí)DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或4a2時(shí)，f（x）有最大值，即x＝a或2a時(shí)，y有最大值，且ymax＝a，此時(shí)DE為AB或AC邊上的中線.?
       
      20.解：（Ⅰ）∵，∴，
      又∵，∴，
      ∴，
      ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                     
………（3分）
      當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
      當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，
      代入橢圓方程整理得：．
      ，，．
      則
               
，
      而
      ∴，從而． 
      綜合可知：對(duì)于任意的割線，恒有．               
………（8分）
      （Ⅱ），
      即：，
      當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．
      ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
      21.解：（Ⅰ）由
      故x>0或x≤－1
      f(x)定義域?yàn)?sub>                         
…………………………（4分）
      （Ⅱ）
      下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：
      ①在n=1時(shí)，a1=1，<a1<2，則n=1時(shí)（*）式成立.
      ②假設(shè)n=k時(shí)成立，
      由
      要證明：
      只需
      只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
      只需1≤4k2+2k
      而4k2+2k≥1在k≥1時(shí)恒成立.
      只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時(shí)恒成立.
      于是：
      因此得證.
      綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                    
………………9分
      （Ⅲ）要證明：
      由（2）可知只需證：
      …………（**）
      下面用分析法證明：（**）式成立。
      要使（**）成立，只需證：
      即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
      只需證：2n>1
      而2n>1在n≥1時(shí)顯然成立.故（**）式得證：
      于是由（**）式可知有：
      因此有：
                          
……………………………………（13分）
       
       
       
      雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案
       
      一、選擇題：ADBAA    BCCDB
      二、填空題
      11.;        12． ;         
13． 
      14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
      三、解答題：
      16．解：（1）
                                                                      …………5分
      由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                          …………6分
      （2）由余弦定理
      得ac=2                                                                                                        …………11分
      =                                                                          …………12分
      17.解：（Ⅰ）．
      （Ⅱ）．
      1當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．
      2當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船和輪船一樣安全．
      3當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．
      解：方法一
      （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
      在△中，，，，
      由余弦定理有
      ，
      所以二面角的大小是.（6分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
      故.                            
…（12分）
       
      19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長(zhǎng)為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
      ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
      ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
      解得AE＝，?
      在△ADE中，由余弦定理:?
      y2＝x2＋?cos60°，?
      ∴y2＝x2＋－2a2
      ∴y＝  (a≤x≤2a)?
      （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
      且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
      當(dāng)t∈（a2，2a2）時(shí)，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
      f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
      ＝（t1－t2）?，?
      ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
      ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
      ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
      ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?
      同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?
      又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當(dāng)t＝2a2時(shí)，f（x）有最小值，即x＝a時(shí)，y有最小值，且ymin＝a，此時(shí)DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或4a2時(shí)，f（x）有最大值，即x＝a或2a時(shí)，y有最大值，且ymax＝a，此時(shí)DE為AB或AC邊上的中線.?
       
      20.解：（Ⅰ）∵，∴，
      又∵，∴，
      ∴，
      ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．  
                                   ………（3分）
      當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
      當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)
		
      

      

      同步練習(xí)冊(cè)答案
      


      


      






















	



      
	







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