試題詳情

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說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據(jù)試題的主要內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．

       二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答 某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

       三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

       四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．

1．B                  2．A                3．C            4．B                 5．C             6．B

7．C                  8．D                9．A            10．D               11．B              12．A

二、本大題:共4個(gè)小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．

13．           14．        15．               16．② 、④

三、解答題:本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：．本小題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，誘導(dǎo)公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數(shù)的圖象及單調(diào)性等基本知識(shí)以及推理和運(yùn)算能力．滿分12分．

（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0,從而sin+cos＞0  …3分

 ∴ =sin+cos===  …………………………6分

（2）∵∴=……………………………8分

  ∴時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，]和 [，].………………………………………12分

18．本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離�？疾榭臻g想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．滿分12分．

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過點(diǎn)A作AN垂直BC，

垂足為N，易得BN=1，，同時(shí)四邊形ANCD是矩形，

則CN=1，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N與點(diǎn)M重合,．………2分

連結(jié)AM，

因?yàn)?sub>平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD．…………………………………4分

（2）過點(diǎn)A作AG垂直SM于點(diǎn)G，

易證平面SAM,

則，在RT中， ，………………………………………7分

又AD∥平面SBC,所以點(diǎn)D到平面SBC的距離為點(diǎn)A到平面SBC的距離AG,大小值為；……………8分

（3）取AB中點(diǎn)E，因?yàn)?sub>是等邊三角形，所以,又,得，過點(diǎn)E作EF垂直SB于點(diǎn)F，連結(jié)CF，則，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小為．………………………………………………………………………………………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根據(jù)（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

設(shè)平面SBC的法向量，則,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………6分

又=，則點(diǎn)D到平面SBC的距離

．………………………………………………………………8分

（3）設(shè)平面ASB的法向量，則,即

，

解得，取．……………………………………………………………………………10分

所以，則二面角A-SB-C的大小為．………………………………12分

19．本小題主要考查排列組合與概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理、運(yùn)算能力與分類討論思想，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．

解：（1）依次成公差大于0的等差數(shù)列， 即為甲、乙、丙3個(gè)盒中的球數(shù)分別為0、1、2，此時(shí)的概率；…………………………………………………………………………3分

(2)解法一:依題意知，的取值為0、1、2、3．，…………………………4分

， ………………………………………………6分

，……………………8分

，…………10分

所以，隨機(jī)變量的概率分布列為：

0

1

2

3

P

數(shù)學(xué)期望為………………………………………………………12分

解法二:把甲、乙兩盒的球數(shù)合并成一盒，則每次擲骰子后球放入該盒中的概率……6分

且,分布列詳見解法一，…………………………………………………………………… 10分

……………………………………………………………………………………………12分

解法三:令,則；  ……………………………………………………6分

，，分布列詳見解法一，…………………………………………10分

………………………………………………………………………………12分

20．本小題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，以及數(shù)列求和的基本運(yùn)算，考查學(xué)生解決數(shù)列問題的基本技能，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的解決數(shù)列問題的能力．滿分12分．

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由  得

  ，，………………………………………………………………2分

  則  ，……………………………………………………………………………3分

， ，等比數(shù)列的公比，……………………………………………4分

  則 ， ………………………………………………………………………………5分

  ，中的每一項(xiàng)均為中的項(xiàng)；……………………………………………………6分

 （2）       ，……………………………………………………………7分

  由得：

   ，………………………………………………………………8分

      ，

     ，……………………………………………9分

 相減得：

 ，……………………………………………………………………11分

          .……………………………………………………………………12分

21．本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查三角函數(shù)、方程、不等式的內(nèi)容；考查解析幾何思想、分析問題、解決問題的能力．滿分12分．

解法一：（1）設(shè)T（x₀，y₀），由對(duì)稱性，不妨設(shè)，∴，

∴且；………………………………………………………………………………1分

∵直線L橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)T，

由橢圓E：得，求導(dǎo)得，……………2分

∴直線L：，得；………………………………………………3分

∵直線L在軸上的截距為，令，得，∴；

∴直線L斜率的絕對(duì)值；……………………………………………………………5分

（2）直線L：與的交點(diǎn)

，……………………………………………………………………………6分

設(shè)，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，………………………………………………………………………7分

當(dāng)時(shí)，

∴……………………………………………………8分

；…………………………………………………………………9分

∵且，∴，…………………………10分

∵最大值為120⁰，只需令，

∴，……………………………………………………………………………………11分

∴；∴

∴橢圓E的方程為．…………………………………………………………………………12分

解法二：（1）依題意設(shè)直線L：，代入橢圓E：整理得：

（*），……………………………………………………………………2分

∵直線L橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)T，

∴方程（*）的，………………………………………………………3分

整理得：，①

∵直線L在軸上的截距為，∴代入①得，∴；………………………5分

（2）考慮對(duì)稱性，不妨設(shè)，由①得，

直線L：與的交點(diǎn)，…………………………6分

設(shè)，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，由①得，……………………………………………………7分

當(dāng)時(shí)，

∴…………………………………………………………8分

，…………………………………………………………9分

∵且，∴，………………………………10分

∵最大值為120⁰，只需令，………………………………11分

∴；∴

∴橢圓E的方程為．…………………………………………………………………………12分

22．本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法．滿分12分．

解：（1）令． ………………………………………1分

令

x

(0,1)

1

(1,+

  +

   0

  －

g(x)

ㄊ

   極大值0

ㄋ

根據(jù)此表可知，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)的最大值為0.            

故當(dāng)x>0時(shí)，都有g(shù)(x)≤0,即lnx≤x-1.          ………………………………………………………3分

(2) 解法一：……………………………4分

①     當(dāng)k<0時(shí), ,∴h(x)在(0,+上是減函數(shù)；

又當(dāng)x>0且x趨近于零時(shí),h(x)>0.

∴此時(shí)h(x)=0在上有解．        …………………………………………………………………5分

②當(dāng)k>0時(shí), 令得 x=(∵x>0)

x

  －

   0

 +

h(x)

ㄋ

   極小值

ㄊ

根據(jù)此表,當(dāng)x=,h(x)的最小值為，………6分

依題意，當(dāng)≤0，即時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=在上有解，……7分

綜上：k<0或.   ……………………………………………………………………………………8分

解法二：當(dāng)x>0時(shí)，lnx=等價(jià)于…………………………………………………4分

令F(x)= 則，…………………………………………………………5分

令得.

x

+   

   0

－

F(x)

ㄊ

   極小值

ㄋ

根據(jù)此表可知, 當(dāng)x=時(shí),F(x)的最大為.………………………………………………………………6分

又當(dāng)x>0且x趨近于零時(shí),F(x)趨向于負(fù)無窮大．

依題意，當(dāng)，即k<0或,時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 實(shí)數(shù)k的取值范圍為k<0或.………………………………………………………………8分

(3)由(1)可知,當(dāng)x>1時(shí),.

令x=k(k,則.  ……………………………………………………………………9分

于是

=  …………………………………10分

又當(dāng)m時(shí),

.

于是.

故≤.

所以原不等式成立． …………………………………………………………………………………………14分