秘密★啟用前

2008年廣州市高三教學(xué)質(zhì)量抽測試題

數(shù)  學(xué)（理科）

                                                            2008．1

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．

注意事項：

1．答選擇題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考試科目填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將相應(yīng)的信息點涂黑．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

 

參考公式：

如果事件、互斥，那么．

如果事件、相互獨立，那么．

如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率．

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．集合的真子集的個數(shù)為

       A．6             B．7             C．8             D．9

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2．不等式的解集是

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       A．              B．

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C．                    D．

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3．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

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       A．     B．        C．      D．

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4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則

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A．         B．        C．          D．

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5．已知向量，，若，則

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A．                            B．

C．1                              D．3

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6．如圖1所示，是關(guān)于判斷閏年的流程圖，則以

下年份是閏年的為

A．1996年

    B．1998年

    C．2010年

    D．2100年

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7．已知，是平面，，是直線，給出下

列命題

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①若，，則．

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②若，，，，則．

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③如果、n是異面直線，那么相交．

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④若，∥，且，則∥且∥．

其中正確命題的個數(shù)是

A．4             B．3               C．2             D．1

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8．函數(shù)，若（其中、均大于２），則的最小值為

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    A．            B．              C．            D．

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二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．

9．某校對全校男女學(xué)生共1600名進行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是        人．

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10．已知等比數(shù)列的前三項依次為，，，則        ．

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11．拋物線上一點到焦點的距離為3，則點的橫坐標       ．

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12．已知的展開式中的常數(shù)項為，是以為周期的偶函數(shù)，且當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是        ．

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13．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離為         ．

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14．（不等式選講選做題）不等式的解集 

是               ．

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15．（幾何證明選講選做題）如圖2所示，與是的直徑，，是延長線上一點，連交于點，連交于點，若，則       ．

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

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       在△中，角所對的邊分別為，已知，，．

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（1）求的值；

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（2）求的值．

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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       已知射手甲射擊一次，擊中目標的概率是．

    （1）求甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率；

（2）假設(shè)甲連續(xù)2次未擊中目標，則中止其射擊，求甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率．

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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如圖3所示，四棱錐中，底面為正方形，

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平面，，，，分別為

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、、的中點．

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（1）求證：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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設(shè)函數(shù)．

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（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

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（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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已知點的坐標分別是，，直線相交于點M，且它們的斜率之積為．

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（1）求點M軌跡的方程；

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（2）若過點的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標原點）．

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足

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（，）．

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）設(shè)為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立．

 

 

 

 

 

2008年廣州市高三教學(xué)質(zhì)量抽測

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

 

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

D

A

D

A

C

B

８．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

則（其中），再利用導(dǎo)數(shù)的方法求解．

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共7小題，每小題5分，滿分30分．

9．760        10．         11．2           12．

13．       14．          15．3

 

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………8分

根據(jù)正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

 

17．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查獨立重復(fù)試驗等基礎(chǔ)知識，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想與方法，以及運算求解能力）

解：（1）設(shè)“甲射擊5次，恰有3次擊中目標”為事件A，則

．

答：甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率為．………………………………6分

（2）方法1：設(shè)“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則

．

答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為．……………………………12分

方法2：設(shè)“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則

．

答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為．……………………………12分

 

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面關(guān)系，二面角及其平面角、坐標方法的運用等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）

（1）證法1：∵平面，平面，∴．

又為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，， ，，，．

…………………………………………………4分

∵，

∴．………………………………………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，．………………………………8分

設(shè)平面DFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．…………………………10分

設(shè)平面EFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．……………………………12分

∵．

設(shè)二面角的平面角為θ，則．

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，，．………………………………8分

過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．…………10分

再過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵與所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

 

19．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查函數(shù)、微積分基本定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力）

解：（1）函數(shù)的定義域為，…………………………………………………1分

∵，………………………………………2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． ……………………………………………4分

（2）方法1：∵，

∴．…………………………6分

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，……………………9分

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根……12分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是．………………………………14分

方法2：∵，

∴．…………………………6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．……………………9分

∵，，，

又，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根．

                                        ……………………………………12分

即．

綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………14分

 

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法，以及運算求解能力）

解：（1）設(shè)點的坐標為，

∵，∴． ………………………………………2分

整理，得（），這就是動點M的軌跡方程．……………………4分

（2）方法1：如圖，由題意知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為（）  …… ①…………………………………5分

將①代入，

得，

………………6分

由，解得．…………………………………………………………7分

設(shè)，，則…… ② ……………………8分

令，則，即，即，且

                                                    ……………………9分

由②得，

即

．……………………………………………11分

且且．

解得且………………………………………………13分

，且．

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……………14分

方法2：如圖，由題意知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為…… ①…………5分

將①代入，

整理，得，…………6分

由，解得．………………………………………………………………7分

設(shè)，，則…… ② ……………………8分

令，且．…………………………………9分

將代入②，得

∴．即．……………………………………11分

∵且，∴且．

即且．

解得且．……………………………………………13分

，且．

故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……………14分

 

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查等差數(shù)列、不等式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）當為奇數(shù)時，即恒成立，…………………………………………7分

當且僅當時，有最小值為1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）當為偶數(shù)時，即恒成立，………………………………………10分

當且僅當時，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又為非零整數(shù)，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………………14分


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