數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法．在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中占有很重要的地位．

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式

（1）第一數(shù)學(xué)歸納法

設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當(dāng)（）時(shí)，成立；

②假設(shè)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立．

（2）第二數(shù)學(xué)歸納法

設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當(dāng)（）時(shí)，成立；

②假設(shè)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立．

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的其他形式

（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法

①當(dāng)時(shí)，成立，

②假設(shè)時(shí)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)①②對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立．

（2）反向數(shù)學(xué)歸納法

設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①對(duì)無(wú)限多個(gè)正整數(shù)成立；

②假設(shè)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立，那么根據(jù)①②對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立．

3．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧

（1）起點(diǎn)前移：有些命題對(duì)一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立，但命題本身對(duì)也成立，而且驗(yàn)證起來(lái)比驗(yàn)證時(shí)容易，因此用驗(yàn)證成立代替驗(yàn)證，同理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以．因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn)．

（2）起點(diǎn)增多：有些命題在由向跨進(jìn)時(shí)，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)．

（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多．

（4）選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè)時(shí)命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用．

（5）變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時(shí)，需要引進(jìn)一個(gè)輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明．

5．歸納、猜想和證明

在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過(guò)特例或根據(jù)一部分對(duì)象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，這種不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進(jìn)一步檢驗(yàn)或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明．不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題極好的方法．

例題分析

例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（）

例2．已知對(duì)任意，，且，求證：．

例3．如果正整數(shù)不是6的倍數(shù)，則不是7的倍數(shù)．

例4．設(shè)都是正數(shù)，證明．

例5．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩數(shù)均有．求證：對(duì)于任意，均有

．

例6試證：對(duì)一切大于等于1的自然數(shù)都有

．

例7試證：對(duì)一切自然數(shù)（）都有．

例8．證明：任一正方形可以剖分成任意個(gè)數(shù)多于5個(gè)的正方形．

例9．設(shè)，，，求證：對(duì)一切均有

例10．已知，，求證：對(duì)一切，都是整數(shù)．

例11．設(shè)，是否存在關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論．

例12．設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，，，且．證明：任意正整數(shù)，是一個(gè)整數(shù)的平方．

例13．設(shè)為正數(shù)（），證明：．

例14．已知，（），求證：．

例15．整數(shù)列（）滿足，且有．求證：時(shí)，是奇數(shù)．

訓(xùn)練題

1．證明時(shí)，能被31整除．

2．設(shè)不小于6的自然數(shù)，證明：可以將一個(gè)正三角形分成個(gè)較小的正三角形．

3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

4．設(shè)為自然數(shù)，求證：．

5．對(duì)于自然數(shù)（），求證：．

6．已知，，求證：對(duì)于一切，是整數(shù)．

7．設(shè)有個(gè)球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來(lái)按照以下規(guī)則挪動(dòng)：若甲戴盆望天的球數(shù)不小于乙堆的球數(shù)，則從甲堆拿個(gè)球放堆乙堆，這樣算是挪動(dòng)一次．證明：可以經(jīng)過(guò)有限次挪動(dòng)把所有的球合并成一堆．

8．已知數(shù)列滿足：，，（），試證：．