一元二次方程專題復(fù)習(xí)（二）

           根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用

如果一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x₁，x₂，那么

反過來，如果x₁，x₂滿足x₁+x₂=p，x₁x₂=q，則x₁，x₂是一元二次方程x²-px+q=0的兩個(gè)根．一元二次方程的韋達(dá)定理，揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系．利用這個(gè)關(guān)系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)有用的工具．

 【典型例題】

應(yīng)用一：已知一個(gè)根，求另一個(gè)根；

例1 ： 方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x²＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．

解 : 先求出a，b．

由觀察知，1是方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達(dá)定理知，另一根為，于是可得a=1.又從觀察知，1也是方程x²＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．

所以a-b=1-(-1999)=2000．

應(yīng)用二：求根的代數(shù)式的值

不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩個(gè)代數(shù)式的值關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形，化為含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代數(shù)式的值．常見的代數(shù)式變形有：

①     ②

③   ④

⑤

例2：  已知二次方程x²-3x＋1=0的兩根為α，β，求：

（1）    （2）   (3)α³＋β³

解：  由韋達(dá)定理知 ：      α+β=3，   α?β=1．

（1）   （2）

(3)α³＋β³=(α+β)(α²-αβ+β²)=(α+β)[(α+β)²-3αβ]=3(9-3)=18；

例3： 設(shè)方程4x²-2x-3=0的兩個(gè)根是α和β，求4α²＋2β的值．

解：  因?yàn)棣潦欠匠?x²-2x-3=0的根，所以

4α²-2α-3＝0，

即   4α²=2α＋3．由韋達(dá)定理可知，.所以

4α²+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

例4：  已知α，β分別是方程x²＋x-1=0的兩個(gè)根，求2α⁵+5β³的值．

解：  由于α，β分別是方程x²＋x-1=0的根，所以

α²+α-1=0，β²+β-1=0，

即   α²=1-α，β²=1-β．

α⁵=(α²)²?α=(1-α)²α=(α²-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α²+2α

= -3(1-α)+2α=5α-3，

β³=β²?β=(1-β)β=β-β²=β-(1-β)=2β-1．所以

2α⁵+5β³=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．

說明：  此解法的關(guān)鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數(shù)降次，最后都降到一次，這種方法很重要．

應(yīng)用三：與兩根之比有關(guān)的問題；

例5：  已知x₁，x₂是一元二次方程 4x²-(3m-5)x-6m²＝0的兩實(shí)數(shù)根，且，求m的值.

解：  首先，△=(3m-5)²＋96m²＞0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．由韋達(dá)定理知

從上面兩式中消去k，便得

即   m²-6m+5=0，

所以      m₁=1，m₂=5．

應(yīng)用四：求作新的二次方程

例6：  求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是。

解：

例7：  已知方程的兩根為，求一個(gè)一元二次方程，使它兩根為和。

    分析：所求方程，只要求出的值即可。

    解：設(shè)所求一元二次方程為

   為方程的兩根

    ∴由韋達(dá)定理

    又

    ∴所求一元二次方程為

    即：

點(diǎn)撥：應(yīng)用根系關(guān)系構(gòu)造方程，如果方程有兩實(shí)根，那么方程為，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，往往化成整系數(shù)方程。

應(yīng)用五：求方程中某些待定字母系數(shù)的值

例8：  已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

    （1）用含m的代數(shù)式表示；

    （2）當(dāng)時(shí)，求m的值。

       解：（1）由題意：

    （2）由（1）得：

    解得：

    檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，原方程無實(shí)根。

    ∴舍去

    當(dāng)時(shí)，原方程有實(shí)根。

    ∴

    點(diǎn)撥：易忽略檢驗(yàn)，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用一元二次方程有關(guān)概念，及判別式，根系關(guān)系。

應(yīng)用六：判斷一元二次方程根的符號(hào)

例9：  已知方程.m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根.

解：.

，

∴m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)方程的兩個(gè)根都為正數(shù)時(shí)，有，且.解不等式組

，解得  m>7.  ∴ m>7時(shí)，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根

【模擬試題】

一. 選擇題。

  1. 已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則k與另一根分別為（    ）

    A. 2，-1                B. -1，2                C. -2，1                D. 1，-2

  2. 已知方程的兩根互為相反數(shù)，則m的值是（    ）

    A. 4               B. -4                     C. 1               D. -1

  3. 若方程有兩負(fù)根，則k的取值范圍是（    ）

    A.              B.               C.              D.

  4. 若方程的兩根中，只有一個(gè)是0，那么（    ）

    A.                      B.

    C.                      D. 不能確定

  5. 方程的大根與小根之差等于（    ）

    A.            B.           C. 1               D.

  6. 以為根的，且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是（    ）

    A.                      B.

    C.                      D.

7. 若方程組有兩組相同的實(shí)根，則m=_______________。

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

二. 填空題。

  7. 關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則m＝________。

  8. 已知一元二次方程兩根比2：3，則a，b，c之間的關(guān)系是______。

  9. 已知方程的兩根，且，則________。

  10. 已知是方程的兩根，不解方程可得：________，________。

  11. 已知，則以為根的一元二次方程是______________________________。

12.如果一個(gè)矩形的長和寬是一元二次方程的兩個(gè)根，那么這個(gè)矩形的周長是_________

 三. 解答題。

 13. 已知方程的兩個(gè)實(shí)根中，其中一個(gè)是另一個(gè)的2倍，求m的值。

14. 已知方程的兩根不解方程，求的值。

15. 已知方程的兩根，求作以為兩根的方程。

 16. 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根的倒數(shù)和等于3，試求m的值。

17.已知關(guān)于x的方程

（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值，并求出此時(shí)方程的根。

（2）是否存在正數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出m的值，不存在，說明理由。

2007-2008年北京中考數(shù)學(xué)一元二次方程試題匯編

1.已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根中，有一個(gè)根是0，則m的值為_________________________.

2.已知：關(guān)于x的二次方程的一個(gè)根為x=1，且有，則的值為_____________________.

3.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價(jià)均為m元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價(jià)20%，乙超市一次性降價(jià)40%，丙超市第一次降價(jià)30%，第二次降價(jià)10%，此時(shí)顧客要購買這種商品最劃算應(yīng)到的超市是 （　　）

A.甲        B.乙        C.丙       D. 乙或丙

4.“5?12”汶川大地震導(dǎo)致某鐵路隧道被嚴(yán)重破壞．為搶修其中一段120米的鐵路，施工隊(duì)每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前4天開通了列車．問原計(jì)劃每天修多少米？某原計(jì)劃每天修米，所列方程正確的是（    ）

A．           B．

C．           D．

6.已知：關(guān)于的一元二次方程．

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，（其中）．若是關(guān)于的函數(shù)，且，求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量的取值范圍滿足什么條件時(shí)，．

（1）證明：

（2）解：

（3）解：

7.已知：關(guān)于x的兩個(gè)方程 ① 與  ②

方程①有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

⑴求證方程②的有兩根符號(hào)相同；

⑵設(shè)方程②的兩根分別為，若：=1：3，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值.

8.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

⑴ 求k的取值范圍；

⑵ 如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.

9.北京申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通信公司開發(fā)了一種新型通信產(chǎn)品投放市場，根據(jù)計(jì)劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少，第三年比第二年減少，該產(chǎn)品第一年收入資金約為400萬元，公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要贏利，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約是多少？（百分號(hào)前保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

10.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況請解答以下問題：

⑴ 當(dāng)銷售單價(jià)為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤；

⑵ 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？

11. 某商店有一批襯衫將出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，為了盡快減少庫存，增加盈利，商場決定降價(jià)出售，經(jīng)過調(diào)查得知，若每件襯衫降價(jià)1元，則平均每天多售出2件，問：

（1）每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元時(shí)，平均每天可盈利1200元；

（2）商場每天盈利能不能達(dá)到1250元，若能達(dá)到，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？若不能達(dá)到，請說明理由。

12. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖1，如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖1所示，余下的部分作為耕地．要使耕地的面積為540m²，道路的寬應(yīng)是多少？

13. 某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為．在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道．當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是？

14. 在一幅長50cm，寬30cm的風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)規(guī)劃土地的面積是1800cm，設(shè)金色紙邊的寬為cm，那么滿足的方程為                 .

15.在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80％，求所截去小正方形的邊長。

16.如圖，有一長方形的地區(qū)，長為x千米，寬為12千米，現(xiàn)規(guī)劃將它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙為正方形．若已知丙地的面積為32平方千米，試求x的值．

16.一塊矩形耕地大小尺寸（如圖1所示）要在這塊土地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠，如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為9600米²，那么水渠應(yīng)挖多寬？