上海市盧灣區(qū)2009年高考模擬考試
數(shù)學(xué)試卷（文科） 2009. 04
說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評(píng)分依據(jù)。
一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對(duì)應(yīng)的空格中.每個(gè)空格填對(duì)得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分.
1．若集合
，則
．
2．不等式
的解為
．
3．設(shè)
的反函數(shù)為
，若函數(shù)的圖像過點(diǎn)
，且
， 則
．
4．若
，
，其中
為虛數(shù)單位，且
，則實(shí)數(shù)
．
5．二項(xiàng)式
的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
．
6．若點(diǎn)
是圓
內(nèi)異于圓心的點(diǎn)，則直線
與該圓的位置關(guān)系是
．
7．若
、
滿足
，則
的最大值是 ．
8．右圖給出的是計(jì)算
的值的一個(gè)框圖，
其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 ．
9．在
中，設(shè)角
、
、
所對(duì)的邊分別是
、
、
，若
，
且
, 則
．
10．若函數(shù)
能使得不等式
在區(qū)間
上恒成立，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
．
11．在平面直角坐標(biāo)系中，若
為坐標(biāo)原點(diǎn)，則、、三點(diǎn)在同一直線上的充要條件為存在惟一的實(shí)數(shù)
，使得
成立，此時(shí)稱實(shí)數(shù)為“向量
關(guān)于
和
的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”．若已知
、
，且向量
是直線
的法向量，則“向量關(guān)于
和
的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為
．
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對(duì)得5分，不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)，或者沒有填寫在題號(hào)對(duì)應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.
12．若、
為兩條不同的直線，
、
為兩個(gè)不同的平面，則以下命題正確的是( )
A．若
，
，則
； B．若
，
，則
；
C．若，
，則； D．若
，
，則．
13．若函數(shù)
，則當(dāng)
時(shí)，
可化簡為
( )
A．
； B．
； C．
； D．
．
14．設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)之和為
，若
(
)，則 ( )
A．是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列； B．是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列；
C．是等差數(shù)列，或是等比數(shù)列； D．可以既不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列．
15．關(guān)于函數(shù)
和實(shí)數(shù)、的下列結(jié)論中正確的是 ( )
A．若
，則
； B．若
，則；
C．若，則
； D．若，則
.
三、解答題（本大題滿分75分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.
16. (本題滿分12分，第1小題4分，第2小題8分)
如圖，已知點(diǎn)
在圓柱
的底面圓上，
為圓的直徑.
（1）求證：
；
（2）若圓柱的體積
為
，
，
，求異面直線
與
所成的角（用
反三角函數(shù)值表示結(jié)果）.
17． (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
袋中有8個(gè)僅顏色不同，其它都相同的球，其中1個(gè)為黑球，3個(gè)為白球，4個(gè)為紅球.
（1）若從袋中一次摸出2個(gè)球，求所摸出的2個(gè)球恰為異色球的概率；
（2）若從袋中一次摸出3個(gè)球，求所摸得的3球中，黑球與白球的個(gè)數(shù)都沒有超過紅球的個(gè)數(shù)的不同摸法的種數(shù).
18. (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
，且對(duì)任意正整數(shù)，都滿足：
，其中
為實(shí)數(shù).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若
為楊輝三角第行中所有數(shù)的和，即
，
為楊輝三角前行中所有數(shù)的和，亦即為數(shù)列
的前項(xiàng)和，求
的值.
19．(本題滿分17分，第1小題6分，第2小題11分)
已知函數(shù)
，
.
（1）證明：函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)，并指出函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的圖像與直線
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
，
，其中
，求
的取值范圍.
20. (本題滿分18分，第1小題4分，第2小題5分，第3小題9分)
如圖，已知點(diǎn)
，動(dòng)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)
在軸上，其橫坐標(biāo)不小于零，點(diǎn)
在直線
上，
且滿足
，
.
（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡；
（2）過定點(diǎn)
作互相垂直的直線
與
，與
（1）中的軌跡交于、兩點(diǎn)，與（1）中的軌跡交于
、
兩點(diǎn)，求四邊形
面積
的最小值；
（3）將（1）中的曲線推廣為橢圓：
，并將（2）中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)
，求與（2）相類似的問題的解.
上海市盧灣區(qū)2009年高考模擬考試
一、填空題（本大題共11題，每小題5分，滿分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相離 7．
8．
9．
10．
11．
二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答題（本大題滿分75分）
16．（1）證明：易知
，又由
平面
，得
，從而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延長
交圓
于點(diǎn)
，連接
，
，則
，得
或它的補(bǔ)角為異面直線
與
所成的角.
（6分）
由題意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得異面直線 與所成的角為
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2個(gè)球?yàn)楫惿虻牟煌ǚN數(shù)為
種，從8個(gè)球中摸出2個(gè)球的不同摸法種數(shù)為
，故所求的概率為
； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，共有
種不同摸法，
（8分）
一種是所摸得的3球中有2個(gè)紅球，1個(gè)其它顏色球，共有
種不同摸法，
（10分）
一種是所摸得的3球均為紅球，共有
種不同摸法， （12分）
故符合條件的不同摸法共有
種.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相減得
，由
得
，又
，得
，故數(shù)列
是一個(gè)以為首項(xiàng)，以
為公比的等比數(shù)列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
，
當(dāng)
，即
時(shí)，
不存在. （14分）
19．（1）證明：任取
，
，且
，
.
所以
在區(qū)間
上為增函數(shù). （5分）
函數(shù)在區(qū)間
上為減函數(shù).
（6分）
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為
，在區(qū)間上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為
，由題意函數(shù)的圖像與直線
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有
，
（8分）
易知
，
分別位于直線
的兩側(cè)，由
，得
，故
，
，又
，
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
當(dāng)
時(shí)，
，
.
因此，
的取值范圍為
.
（17分）
20. 解：（1）設(shè)
，易知
，
，
，由題設(shè)
，
得
其中
，從而
，
，且
，
又由已知
，得
，
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)
為原點(diǎn)，
為
軸，
為
軸，點(diǎn)也為原點(diǎn)，從而點(diǎn)
也為原點(diǎn)，因此點(diǎn)的軌跡
的方程為，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以
為焦點(diǎn)的拋物線；
（4分）
（2）由題設(shè)，可設(shè)直線
的方程為
，直線
的方程為
，
，又設(shè)
、
，
則由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立，因此四邊形
面積
的最小值為
.
（9分）
（3）當(dāng)
時(shí)可設(shè)直線的方程為
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立. （17分）
當(dāng)
時(shí)，易知
，
，得
，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)四邊形面積有最小值
.
（18分）
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