上海市閔行區(qū)2008學年第二學期高三年級質量調研考試

數(shù)學試卷（文理科）

考生注意：

1．答卷前，考生務必在答題紙上將學校、班級、考號、姓名等填寫清楚．

2．本試卷共有21道題，滿分150分，考試時間120分鐘．

一. 填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，考生應在答題紙上相應編號的空格內(nèi)

直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分．

1．方程的解                   .

2．（理）若直線經(jīng)過點，且法向量為，則直線的方程是              

（結果用直線的一般式表示）.

（文）計算                   .

3．（理）若函數(shù)則                 .

（文）若，則                   .

4．（理）若是偶函數(shù)，則實數(shù)                   .

（文）若直線經(jīng)過點，且法向量為，則直線的方程是              

（結果用直線的一般式表示）.

5．（理）在極坐標系中，兩點的極坐標分別為、，為極點，則面積為              .

（文）若，則函數(shù)的最大值為           .

6．（理）無窮數(shù)列的各項和為                   .

（文）若是偶函數(shù)，則實數(shù)                   .

7．根據(jù)右面的框圖，該程序運行后輸出的結果為       .

8．（理）已知地球半徑為公里，位于赤道上兩點、分別在東經(jīng)和上，則、兩點的球面距離為           公里（取3.14，結果精確到1公里）.

（文）已知一個圓柱的側面展開圖是邊長為4的正方形，則該圓柱的體積為            .

9．（理）一個袋子里裝有外形和質地一樣的5個白球、3個綠球和2個紅球，將它們充分混合后，摸得一個白球計1分，摸得一個綠球計2分，摸得一個紅球計4分，記隨機摸出一個球的得分為，則隨機變量的數(shù)學期望              .

（文）在航天員進行的一項太空試驗中，先后要實施道程序，則滿足程序只能出現(xiàn)在最后一步，且程序和程序必須相鄰實施的概率為               .

10．（理）若關于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是              .

（文）若關于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是              .

11．（理）對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的范圍為              .

（文）對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為              .

12．（理）通過研究函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)，進一步研究可得在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)為          .

（文）通過研究方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解的個數(shù)，進一步研究可得函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)為          .

二. 選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，選對得4分，答案代號必須填在答題紙上．注意試題題號與答題紙上相應編號一一對應，不能錯位.

13．（理）“”是“”的                      [答]（    ）

(A) 充分非必要條件.                (B) 必要非充分條件.

(C) 充要條件.                      (D) 既非充分也非必要條件.

（文）“”是“”的                            [答]（    ）

(A) 充分非必要條件.                (B) 必要非充分條件.

(C) 充要條件.                      (D) 既非充分也非必要條件.

14．（理）若，且，則的取值范圍是   [答]（    ）

(A) .       (B) .        (C) .       (D) .

（文）若，且，則的最大值是                   [答]（    ）

(A) 2.            (B) 3.            (C) 4.            (D) 5.

15．函數(shù)圖像上的動點到直線的距離為，點到軸的距離為，則                                           [答]（    ）

(A) 5.            (B).          (C).         (D) 不確定的正數(shù).

16．（理）已知橢圓（為參數(shù)）上的點到它的兩個焦點、的距離之比，且，則的最大值為[答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

（文）橢圓上的點到它的兩個焦點、的距離之比，且，則的最大值為   [答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

三.  解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應的區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．

_{17.（本題滿分12分）}

（理）已知的最大值為2，求實數(shù)的值．

（文）已知的最大值為2，求實數(shù)的值．

_{18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．}

（理）在長方體中，，，，點在棱上移動.

（1）探求等于何值時，直線與平面成角；

（2）點移動為棱中點時，求點到平面的距離．

（文）如圖幾何體是由一個棱長為2的正方體與一個側棱長為2的正四棱錐組合而成.

（1）求該幾何體的主視圖的面積；

（2）若點是棱的中點，求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數(shù)表示）.

_{19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．}

課本中介紹了諾貝爾獎，其發(fā)放方式為：每年一次，把獎金總金額平均分成6份，獎勵在6項（物理、化學、文學、經(jīng)濟學、生理學和醫(yī)學、和平）為人類作出了最有益貢獻的人.每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年遞增.資料顯示:1998年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額已達萬美元，假設基金平均年利率為.

（1）請計算：1999年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為多少萬美元？當年每項獎金發(fā)放多少萬美元（結果精確到1萬美元）？

（2）設表示為第()年諾貝爾獎發(fā)獎后的基金總額(1998年記為),試求函數(shù)的表達式.并據(jù)此判斷新民網(wǎng)一則新聞 “2008年度諾貝爾獎各項獎金高達168萬美元”是否與計算結果相符，并說明理由.

_{20.（本題滿分17分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分7分．}

（理）斜率為1的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點、.

（1）若，求的值；

（2）將直線按向量平移得直線，是上的動點，求的最小值．

（3）設，為拋物線上一動點，是否存在直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

（文）斜率為1的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點、．

（1）求的值；

（2）將直線按向量平移得直線，是上的動點，求的最小值．

（3）設，為拋物線上一動點，證明：存在一條定直線：，使得被以為直徑的圓截得的弦長為定值，并求出直線的方程．

_{21.（本題滿分17分）（理）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分．第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評分．}

對于數(shù)列

（1）當滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），

證明：為非零常數(shù)列.

（2）當滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），

判斷是否為非零常數(shù)列，并說明理由.

（3）對（1）、（2）等式中的指數(shù)進行推廣,寫出推廣后的一個正確結論,并說明理由.

_{（文）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分7分．第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評分．}

對于數(shù)列

（1）當滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），

證明：為非零常數(shù)列.

（2）當滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），

判斷是否為非零常數(shù)列，并說明理由.

（3）對（1）、（2）等式中的指數(shù)進行推廣,寫出推廣后的一個正確結論（不用說明理由）.

閔行區(qū)2008學年第二學期高三年級質量調研考試

一、填空題：（每題5分）

1. ；        2. 理：、文：；                      　3. 理：0、文：0；

4.理：0、文：；     5.理：；文：40；   6.理：、文：0；

7. ；          8.理：、文：；             9.理：、文：；

10.理：、文：；   11.理：、文：0；   12.理：當為大于3的偶數(shù)時，個零點；當為大于或等于3的奇數(shù)時，個零點、文：個零點.

二、選擇題：（每題4分）13. ；  14. ；  15. ； 16.

三、解答題：

17.（本題滿分12分）

(理) 解：按行列式展開可得：

  (3分)

  (6分)

，(9分)

從而可得：．(12分)

 (文) 解：按行列式展開可得           (3分)

        (6分)

由題意得：    (9分)   ．(12分)

_{18.（本題滿分14分）}

（理）解：（1）法一：長方體中，因為點E在棱AB上移動，所以平面，從而為直線與平面所成的平面角，(3分)

中，.  (6分)

法二：以為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸,建立空間直角坐標系，則點，平面的法向量為，設，得，(3分)由，得，故    (6分)

（2）以為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點，， ，

從而，，      (3分)

設平面的法向量為，由

令， (5分)

所以點到平面的距離為.  (8分)

（文）解：（1）畫出其主視圖（如下圖），

可知其面積為三角形與正方形面積之和.

在正四棱錐中，棱錐的高， (2分)

. (6分)

（2）取中點，聯(lián)結，

則為異面直線與所成角.        (2分)

在中，，

又在正四棱錐中，斜高為， (4分)

由余弦定理可得                    (6分)

所以，異面直線與所成的角為.  (8分)

_{19.（本題滿分14分）}

解：（1）由題意知：1999年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為

萬美元；  (3分)

每項獎金發(fā)放額為萬美元；  (6分)

（2）由題意知：，

，

所以， （）.       (5分)

2007年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為

2008年度諾貝爾獎各項獎金額為萬美元，

與168萬美元相比少了34萬美元，計算結果與新聞不符.                (8分)

1千萬瑞典克朗怎么換成美元成了，137，154，168萬美元？

_{20.（本題滿分17分）}

（理）

解：（1）設，時，直線：代入中

可得：                                            （2分）

則，由定義可得：.                 （4分）

（2）直線：，代入中，可得：

則，，設，

則

即  （2分）

由                     （4分）

則

當時，的最小值為．                            （6分）

（3）假設滿足條件的直線存在，其方程為，

設的中點為，與以為直徑的圓相交于點、，設的中點為，

則，點的坐標為．

，

，                                  （2分）

，

．                    （5分）

令，得，此時為定值，

故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線． （7分）

（文）（1）設，直線：代入中

可得：                                            （2分）

則，由定義可得：.                 （4分）

（2）由（1）可設，

則

即  （2分）

由，，                       （4分）

則

當時，的最小值為．                              （6分）

（3）設的中點為，與以為直徑的圓相交于點、，

設的中點為，則，點的坐標為．

，

，                                （2分）

，

．                         （5分）

令，得，此時為定值，

故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．   （7分）

_{21.（本題滿分17分）}

（理）解：（1）（法一）

當時，，所以；

當時，是一常數(shù)，矛盾，所以為非零常數(shù)列；      （4分）

（法二）設，則有：，

即

所以，解得.由此可知數(shù)列為非零常數(shù)列；     （4分）

（2）記，由（1）證明的結論知： 為非零常數(shù)列.          （2分）

顯然，為非零常數(shù)列時，不一定為非零常數(shù)列,如:非常數(shù)數(shù)列（為大于的正常數(shù)）和常數(shù)列為非零常數(shù)）均滿足題意要求. （5分）

（3）根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評分．

僅推廣到3次方或4次方的結論或者是特殊次方的結論     （結論1分，解答1分）

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），則當為奇數(shù)時，必為非零常數(shù)列；當為偶數(shù)時，不一定為非零常數(shù)列.

事實上，記，由（1）證明的結論知：為非零常數(shù)列，即為非零常數(shù)列.所以當為奇數(shù)時，為非零常數(shù)列；當為偶數(shù)時，不一定為非零常數(shù)列.                                             （結論2分，解答2分）

或者：設，即，則,即對一切均為常數(shù)，則必有，即有，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，或者.

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），且為整數(shù)，

當均為奇數(shù)時，必為非零常數(shù)列；否則不一定為常數(shù)列.

事實上，條件（正常數(shù)）可以轉化為（常數(shù)），整個問題轉化為，結論顯然成立.                                （結論3分，解答3分）

或者：設,即，當為奇數(shù)時，有,則，即對一切均為常數(shù)，則必有，即有，則，當為偶數(shù)時，如反例：,它既滿足次方后是等差數(shù)列，又是（不管為奇數(shù)還是偶數(shù)）次方后成等比數(shù)列，但它不為常數(shù)列.

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)）,為有理數(shù)，, 則必為非零常數(shù)列；否則不一定為常數(shù)列.

證明過程同                                      （結論4分，解答3分）

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），且為實數(shù)，,

是不等于1的正數(shù)數(shù)列，則必為非零且不等于1的常數(shù)列；否則不一定為常數(shù)列.

事實上，當，為實數(shù)時，條件同樣可以轉化為,記，由第（1）題的結論知：必為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，也即為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，，從而也是不等于1的正常數(shù)數(shù)列.

（結論5分，解答3分）

（文）解：（1）（法一）  （2分）

當時，，所以；

當時，是一常數(shù)，矛盾，所以為非零常數(shù)列；      （5分）

（法二）設，則有：，

即                                         （2分）

所以，解得.由此可知數(shù)列為非零常數(shù)列；     （5分）

（2）記，由（1）證明的結論知： 為非零常數(shù)列.          （2分）

顯然，為非零常數(shù)列時，不一定為非零常數(shù)列,如:非常數(shù)數(shù)列（為大于的正常數(shù)）和常數(shù)列為非零常數(shù)）均滿足題意要求. （5分）

（3）根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評分．

僅推廣到3次方或4次方的結論或者是特殊次方的結論               （結論1分）

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），則當為奇數(shù)時，必為非零常數(shù)列；當為偶數(shù)時，不一定為非零常數(shù)列.

事實上，記，由（1）證明的結論知：為非零常數(shù)列，即為非零常數(shù)列.所以當為奇數(shù)時，為非零常數(shù)列；當為偶數(shù)時，不一定為非零常數(shù)列.                                                     （結論3分）

或者：設，即，則,即對一切均為常數(shù)，則必有，即有，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，或者.

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)），且為整數(shù)，

當均為奇數(shù)時，必為非零常數(shù)列；否則不一定為常數(shù)列.

事實上，條件（正常數(shù)）可以轉化為（常數(shù)），整個問題轉化為，結論顯然成立.                                        （結論5分）

或者：設,即，當為奇數(shù)時，有,則，即對一切均為常數(shù)，則必有，即有，則，當為偶數(shù)時，如反例：,它既滿足次方后是等差數(shù)列，又是（不管為奇數(shù)還是偶數(shù)）次方后成等比數(shù)列，但它不為常數(shù)列.

滿足（常數(shù)）且（常數(shù)）,