2009屆高考倒計時數(shù)學沖刺階段每日綜合模擬一練(4)

一、選擇題:本大題共12小題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.集合, 則                    

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A.         B.    C.     D.

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2.等差數(shù)列中,,則公差                           

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A.1                  B.2              C.             D.

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3.已知向量ab,則a與b的夾角等于                       

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A.               B            C.           D.

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4.函數(shù)的反函數(shù)是                                    

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A.                     B.         

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C.                     D.

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5.在中,“”是“”的                          

A.充分而不必要條件                     B.必要而不充分條件

C.充要條件                             D.既不充分也不必要條件

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6.已知四面體,平面是棱的中點,

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,則異面直線所成的角等于

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A.               B.          

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C.               D.

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7.函數(shù)圖象的一個對稱中心是                      

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A.           B.        C.         D.

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8.已知函數(shù)的導函數(shù)是,且則曲線處的切線方程是              

A.y=3x+5             B.y=3x+6         C.y=2x+5         D.y=2x+4

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9.橢圓的離心率的取值范圍是                          

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A.()       B.()   C.()          D.(

2,4,6

A.240個              B.480個        C. 96個           D.48個

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11.已知正整數(shù)滿足,使得取最小值時,則實數(shù)對(是A.(5,10)   B.(6,6)                         C.(10,5)       D.(7,2)

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12.對于拋物線上任意一點,點都滿足,則實數(shù)的最大值是

                                                                     

A.0                  B.1              C.2              D.4

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二、填空題:本大題共14小題.請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應答題線上.

13.已知集合,若,則a的值是          .

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14.在等差數(shù)列中,,則此數(shù)列的前13項之和等于          

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15.已知向量.若向量,則實數(shù)的值是     

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16.若均為銳角,            

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17.已知滿足約束條件,則的最大值是______________.

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18.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為          。

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19.將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移個單位,再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍(縱坐標不變),則所得的圖象的函數(shù)解析式為            

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20.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是            .

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21.已知,則的值為____________

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22.△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c,設向量,若則角C的大小為              

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23.數(shù)列滿足,則               。 24.若方程的解為,則大于的最小整數(shù)是             

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25.設函數(shù)處取極值,則=         

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26.已知關于的函數(shù).如果時,其圖象恒在x軸的上方,則的取值范圍是             _

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三、解答題:本大題共6小題,解答應寫出文字說明、證明過程并演算步驟。

27、已知函數(shù)f(x)= +2sin2x

(1)求函數(shù)f(x)的最大值及此時x的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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28、四個紀念幣A、B、C、D,投擲時正面向上的概率如下表所示(0<a<1)

紀念幣

A

B

C

D

概率

1/2

1/2

a

a

這四個紀念幣同時投擲一次,設ξ表示出正面向上的個數(shù)。

(1)求概率p(ξ)

(2)求在概率p(ξ),p(ξ=2)為最大時,a的取值范圍。

(3)求ξ的數(shù)學期望。

 

 

 

 

 

 

 

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29、如圖①在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F(xiàn),G分別是線段PC、PD,BC的中點,現(xiàn)將ΔPDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD(如圖②)

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(1)求證AP∥平面EFG;

(2)求二面角G-EF-D的大。

(3)在線段PB上確定一點Q,使PC⊥平面ADQ,試給出證明。

 

 

 

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30、在平面直角坐標系中,已知A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M(,0),若實數(shù)λ使向量,λ,滿足λ2?()2=

(1)求點P的軌跡方程,并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線;

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(2)當λ=時,過點A1且斜率為1的直線與此時(1)中的曲線相交的另一點為B,能否在直線x=-9上找一點C,使ΔA1BC為正三角形(請說明理由)。

 

 

 

 

 

 

 

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31、已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

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(2)證明:(1+)(1+)…(1+)<e (n∈N*,n≥2,其中無理數(shù)e=2.71828…)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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32、已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱.

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(1)試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式,并指出它的定義域;

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(2)數(shù)列中,,當時,.數(shù)列中,,.點在函數(shù)的圖像上,求的值;

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(3)在(2)的條件下,過點作傾斜角為的直線,則在y軸上的截距為,求數(shù)列的通項公式.

 

 

 

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一、選擇題:

1.C  2.D  3.C  4.A   5.B  6.C  7.B   8.A   9.D  10.A  11.A  12.C

二、填空題:

13.         14. 26   15. -3    16.     17. 3         18.   

19.   20.(0,1) 21.     22.    23.765        24.5  

25.2          26.

三、解答題:

27、解:(1)∵cos3x=4cos3x-3cosx,則=4cos2x-3=2cos2x-1

∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

=2sin(2x+)-1                            

在2x+=2kπ+時,f(x)取得最大值2-1

即在x=kπ+ (k∈Z)時,f(x)取得最大值2-1 

(2)∵f(x)=2sin(2x+)-1

要使f(x)遞減,x滿足2kπ+≤2x+≤2kπ+

即kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z)

又∵cosx≠0,即x≠kπ+ (k∈Z)               

     

    28、解:(1)p(ξ個正面向上,4-ξ個背面向上的概率,其中ξ可能取值為0,1,2,3,4。

    ∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

    p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)

    p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2? a2=(1+2a-2 a2)

    p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

    p(ξ=4)= ()2 a2=a2             

    (2) ∵0<a<1,∴p(ξ=1) <p(ξ=1),p(ξ=4) <p(ξ=3)

    則p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)- =-≥0

    ,即a∈[]                

    (3)由(1)知ξ的數(shù)學期望為

    Eξ=0×(1-a)2+1× (1-a)+2× (1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1

    29、解:(1)∵EF∥CD∥AB,EG∥PB,根據(jù)面面平行的判定定理

    ∴平面EFG∥平面PAB,又PA面PAB,∴AP∥平面EFG

    (2)∵平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC

    ∴AD⊥平面PCD,而BC∥AD,∴BC⊥面EFD

    過C作CR⊥EF交EF延長線于R點連GR,根據(jù)三垂線定理知

    ∠GRC即為二面角的平面角,∵GC=CR,∴∠GRC=45°,  

    故二面角G-EF-D的大小為45°。

    (3)Q點為PB的中點,取PC中點M,則QM∥BC,∴QM⊥PC

    在等腰Rt△PDC中,DM⊥PC,∴PC⊥面ADMQ         

    30、解:(1)由已知可得,=(x+3,y),=(x-3,y),=(,0),

    2()2=?,∴2(x2-9)=x2-9+y2,

    即P點的軌跡方程(1-2)x2+y2=9(1-2)

    當1-2>0,且≠0,即∈(-1,0)時,有+=1,

    ∵1-2>0,∴>0,∴x2≤9。

    ∴P點的軌跡是點A1,(-3,0)與點A2(3,0) 

    =0時,方程為x2+y2=9,P的軌跡是點A1(-3,0)與點A2(3,0)

    當1-2<0,即入∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,方程為-=1,P點的軌跡是雙曲線。

    當1-2=0,即=±1時,方程為y=0,P點的軌跡是射線。

    (2)過點A1且斜率為1的直線方程為y=x+3,

    =時,曲線方程為+=1,

    由(1)知,其軌跡為點A1(-3,0)與A2(3,0)

    因直線過A1(-3,0),但不過A2(3,0)。

    所以,點B不存在。

    所以,在直線x=-9上找不到點C滿足條件。         

    31、解:(理)(1)f′(x)=-+a=

    (i)若a=0時,f′(x)= >0x>0,f′(x)<0x<0

    ∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減。   

    (ii)若時,f′(x)≤0對x∈R恒成立。

    ∴f(x)在R上單調(diào)遞減。                          

    (iii)若-1<a<0,由f′(x)>0ax2+2x+a>0<x<

    由f′(x)<0可得x>或x<

    ∴f(x)在[]單調(diào)遞增

    在(-∞,],[上單調(diào)遞減。

    綜上所述:若a≤-1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。

    (2)由(1)當a=-1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。

    當x∈(0,+∞)時f(x)<f(0)

    ∴l(xiāng)n(1+x2)-x<0 即ln(1+x2)<x

    ∴l(xiāng)n[(1+)(1+)……(1+)]

    =ln[(1+)(1+)+…ln(1+)<++…+

    =1-+-+…+=1-<1

    ∴(1+)(1+)……(1+)<e  

    32、解:(1)由題可知:與函數(shù)互為反函數(shù),所以,

      (2)因為點在函數(shù)的圖像上,所以, 

    在上式中令可得:,又因為:,,代入可解得:.所以,,(*)式可化為:

    (3)直線的方程為:,,

    在其中令,得,又因為在y軸上的截距為,所以,

    =,結合①式可得:            ②

    由①可知:當自然數(shù)時,,

    兩式作差得:

    結合②式得:         ③

    在③中,令,結合,可解得:,

    又因為:當時,,所以,舍去,得

    同上,在③中,依次令,可解得:,

    猜想:.下用數(shù)學歸納法證明.       

    (1)時,由已知條件及上述求解過程知顯然成立.

    (2)假設時命題成立,即,則由③式可得:

    代入上式并解方程得:

    由于,所以,,所以,

    符合題意,應舍去,故只有

    所以,時命題也成立.

    綜上可知:數(shù)列的通項公式為   

     

     


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