貴陽六中2009屆高三月考(10月) 數(shù) 學(xué)2008.10.04下午

一.選擇題: (本大題共12小題,每小題5分,共60分).

1．若集合S = {a, b, c} (a, b, c∈R)中三個元素為邊可構(gòu)成一個三角形，那么該三角形一定

不可能是A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形  

2．若命題“p且q”與命題“p或q”都是假命題，則下列判斷正確的是    

A．命題“非p”與q的真假相同     B．命題“非p”與“非q”真假不同

C．命題“非p且非q”是真命題     D．命題“非p”與“非q”中至少有一個是假命題

3．(理) 若函數(shù)則是函數(shù)的         

A．極限不存在的點(diǎn)       B．無定義的點(diǎn)       C．連續(xù)點(diǎn)       D．不連續(xù)點(diǎn)

(文) 曲線在處的切線的傾斜角是                      A． B．      C．  D．

4．(理) 設(shè)隨機(jī)變量則P（=2）等于  A．    B．     C．     D．

  (文) 已知x∈, sin x = , 則tan x 等于   A．-  B． C．-  D．

5．的展開式中的常數(shù)項為 A．7     B．-7    C．28     D．-28 

6．有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為，學(xué)生B解出的概率為，學(xué)生C解出的概

率為，若A、B、C三學(xué)生獨(dú)立去解答此題，則恰有1人解出的概率為    

A．          B．       C．         D．1

7．若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為

A．       B．     C．          D．

 8．雙曲線的漸近線方程是4y ± 3x = 0, 則該雙曲線的離心率是            

A．或       B． 或       C．        D．

9．已知直線，直線，給出下列命題:

    ① ∥；② ∥m ③ ∥                       ④ ∥

其中正確命題的序號是A．①②③    B．②③④    C．②④    D．①③ 

10. 從6個教室中至少安排兩個教室供學(xué)生上自修課, 則可能安排的情況共有

A．15種         B．30種         C．56種        D．57種

11．定義在區(qū)間 [a , b] (b > a )上的函數(shù) f (x) =sin x - cos x 的值域是 [-, 1]，則 b - a 的最大值 M 和最小值 m 分別是                                        

A．m =,  M =  B．m = ,  M =  C．m = , M = D．m = , M = 2p

12．(理) 在等比數(shù)列中，首項，且前項和滿足，那么的取值范圍是A．（1，2）   B．（1，）   C．（1，4）   D．（1，+∞）    

 (文) 從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為

分?jǐn)?shù)

5

4

3

2

1

人數(shù)

20

10

30

30

10

A．    B． C．3      D．

二.填空題: (本大題共4小題,每小題5分,共20分.)

13．已知二次函數(shù)f ( x ) 滿足f (2 + x ) = f (2 - x )，且 f (2) = 1， f (0) = 3， 如果 f ( x ) 在區(qū)間 [0，m] 上最小值為1，最大值為3，則m的取值范圍是                   。

14．拋物線y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為               

15．如圖，正三角形P₁P₂P₃，點(diǎn)A、B、C分別為

邊 P₁P₂，P₂P₃，P₃P₁的中點(diǎn)，沿AB、BC、CA折

起，使 P₁、P₂、P₃ 三點(diǎn)重合后為點(diǎn) P，則折起后

二面角P ― AB ― C的余弦值為        .

16．給出如下命題：

（1）如果為奇函數(shù)，則其圖象必過（0，0）點(diǎn)；

（2）與的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線上；

（3）若對定義域R內(nèi)任意實(shí)數(shù)恒有，則必為奇函數(shù)；（4）函數(shù)=的極小值為2，極大值為－2。其中真命題的序號為          。

三.解答題: (本大題共6小題,,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．（本小題滿分10分）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，表示該三角形的面積，且（Ⅰ）求角的大��；（Ⅱ）若，求b的值                                          

18．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求證：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大��；

19． (本小題滿分12分)

（理）在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名。

（Ⅰ）、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？（Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857

（文） 已知10件產(chǎn)品中有3件是次品.（I）任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，求其中至少有1件是次品的概率；（II）為了保證使3件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

20．(本小題滿分12分)  (理) 求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值.

   (文)  若函數(shù)在區(qū)間(1，4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間

(6，+∞)上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21. (本小題滿分12分)  已知｛a_n｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（）（nN*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛a_n｝的通項公式；(Ⅱ)若列數(shù)｛b_n｝滿足b₁=1,b_n+1=b_n+，求證：b_n       ?b_n+2＜b²_n+1.

22．(本小題滿分12分)橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，其離心率, 過點(diǎn)C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2。（1）用直線的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面積；（2）當(dāng)△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。

一.選擇題: (本大題共12小題,每小題5分,共60分.)

題號

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10

11

12

答案

 B

 C

 D

 A

 A

 B

 D

 A

 D

 D

 C

 B

二.填空題: (本大題共4小題,每小題4分,共16分.)

13．[ 2 , 4 ]             14．             15．        16．（3）(4)

三.解答題: (本大題共6小題,,共74分.)

17．（本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）由  可得：

又.  --------5分（Ⅱ），

. -----------10分

18．（本小題滿分12分）

解法一：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD. ∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，

∴AB＝BP，∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，

∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小為aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

設(shè)P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).

取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小為arccos

19．（本小題滿分12分）

（理）解：（Ⅰ）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?sub>～N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，

參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）。

（Ⅱ）假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，則

P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。

（文）解：（1）任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，全部是正品的概率為…………3分至少有一件是次品的概率為……………………6分

（2）設(shè)抽取n件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則3件次品全部檢驗(yàn)出的概率為………8分

由

整理得：，……………………10分

   ∴當(dāng)n=9或n=10時上式成立.…………11分

答：任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，其中至少有1件是次品的概率為為了保證使3件次

品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗(yàn).………………12分

20．（本小題滿分12分）

(理)   解：  ………………2分

令 

化簡為  解得   ………………5分

當(dāng)單調(diào)增加；

當(dāng)單調(diào)減少.

所以為函數(shù)的極大值. ………………8分

又因?yàn)?nbsp;     ………………10分

所以   為函數(shù)在[0，2]上的最小值，為函數(shù)

在[0，2]上的最大值.     ………………12分

(文) 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)   .………………2分

令，解得 x = 1 或x = a - 1   .………………5分

當(dāng)a - 1≤1 即 a≤2 時, 函數(shù) f ( x ) 在 ( 1 , + ¥ ) 上是增函數(shù), 不合題意.

當(dāng)a - 1 > 1 即 a >2 時, 函數(shù) f ( x ) 在 ( - ¥, 1 ) 上是增函數(shù), 在 ( 1 , a - 1 ) 內(nèi)為減函數(shù), 在( a - 1, + ¥ ) 內(nèi)為增函數(shù).     .………………8分

依題意應(yīng)有 當(dāng).…………10分

所以    解得

所以a的取值范圍是[5，7].  .………………12分

21．（本小題滿分12分）

解：解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以數(shù)列｛a_n｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.

故a_n=1+(n-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n從而b_n+1-b_n=2ⁿ.b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­???+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+???+2+1＝=2ⁿ-1.

因?yàn)閎_n?b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2^2n+2-2-2n+1-1)=-5?2ⁿ+4?2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n?b_n+2＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因?yàn)閎₂=1,

b_n?b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹?b_n-1-2ⁿ?b_n+1-2ⁿ?2ⁿ⁺¹＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…=2ⁿ（b₁-2）=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

22．（本小題滿分14分）

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為( a＞b＞0 )，由e =

∴a²=3b²   故橢圓方程x² + 3y² = 3b²     ……………… 1分

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由于點(diǎn)C（－1，0）分向量的比為2，