2008年河北省高中數(shù)學競賽試題

 

（時間：5月18日上午8：30～11：30）

一、 選擇題（本大題共6小題，每小題6分，滿分36分）

試題詳情

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二、填空題（本大題共6小題，每小題9分，滿分54分）

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三、解答題（本大題共5小題，每題的解答均要求有推理過程，13小題10分,17小題14分,其余每小題12分，滿分60分）

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一、 選擇題（本大題共6小題，每小題6分，滿分36分）

1．函數(shù)的圖像過點（-1，3），則函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱的圖形一定過點（    ）．

A (1,-3)       B (-1,3)    C (-3,-3)       D (-3,3)

答案：B.

2．把2008表示成兩個整數(shù)的平方差形式，則不同的表示方法有（    ）種．

A  4         B 6        C  8         D 16

答案：C.

解： 設(shè)，即．2008有8個正因數(shù)，分別為1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且與只能同為偶數(shù)，因此對應(yīng)的方程組為

故共有8組不同的值：；．

3．若函數(shù)有最小值，則a的取值范圍是（     ）．

A      B     C      D

答案：C．

解：當時，是遞減函數(shù)，由于沒有最大值，所以沒有最小值；當時，有最小值等價于有大于0的最小值．這等價于，因此．

4．已知則的最小值是（     ）．

   A         B        C 2        D   1

答案：A.

解：記，則，，（當且僅當時取等號）．故選A．

5．已知，則的取值范圍是（     ）．

A     B     C     D 

答案：D．

解：設(shè)，易得，即．由于，所以，解得 ．

6．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，且，則的值等于（  ）．

A  1       B  2          C  3          D  4

答案：B

解：（用排除法）令，則得．

若，則，與矛盾；

若，則，與“在上單調(diào)遞增”矛盾；

若，則，也與“在上單調(diào)遞增”矛盾．

故選B．

二、填空題（本大題共6小題，每小題9分，滿分54分）

7．設(shè)集合，是S的子集，且滿足：，，那么滿足條件的子集的個數(shù)為            ．

答案：371．

解：當時，有種選擇方法， 有6種選擇方法，所以共有種選擇方法；當時，一旦取定，有種選擇方法，有種選擇方法，所以選擇的方法有  種．

綜上，滿足條件的子集共有371個．

8．已知數(shù)列滿足，則=___     .

答案：．

解：由已知得，且．

所以，即{}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，所以=n，即有.

9．已知坐標平面上三點，是坐標平面上的點，且，則點的軌跡方程為                             ．

答案：.

解：如圖，作正三角形，由于也是正三角形，所以可證得　≌，所以．

又因為，所以點共線．

，所以P點在的外接圓上，又因為，所以所求的軌跡方程為

．

10． 在三棱錐中，，，，，，．則三棱錐體積的最大值為                 ．

答案：.

解：設(shè)，根據(jù)余弦定理有，

故，．由于棱錐的高不超過它的側(cè)棱長，所以.事實上，取，且時，可以驗證滿足已知條件，此時，棱錐的體積可以達到最大．

11． 從m個男生，n個女生（）中任選2個人當組長，假設(shè)事件A表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同．如果A的概率和B的概率相等，則（m，n）的可能值為                    ．

答案:（10，6）.

解：，由于，所以，整理得．即是完全平方數(shù)，且，因此

  ，，解得 （不合條件），.

所以．

12．是平面上不共線三點，向量，，設(shè)P為線段AB垂直平分線上任意一點，向量．若，，則的值是                      ____              ____．

答案:8．

解：如圖,是線段AB的垂直平分線，，

，，

．

三、解答題（本大題共5小題，每題的解答均要求有推理過程，13小題10分,17小題14分,其余每小題12分，滿分60分）

13．是兩個不相等的正數(shù)，且滿足，求所有可能的整數(shù)c,使得.

解：由得,所以,

由此得到.

又因為,故.………………………4分

又因為, 令    則.……………6分

當時，關(guān)于t單調(diào)遞增，所以，.

因此 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分

 

14．如圖，斜三棱柱的所有棱長均為，側(cè)面底面，且.

（1） 求異面直線與間的距離；

（2） 求側(cè)面與底面所成二面角的度數(shù)．

解：（1）如圖，取中點D，連.

  .

,

∴.

由.……………4分

∥ ∥平面.

所以異面直線與間的距離等于.……………6分

（2）如圖，

………………………………..……8分

.……………………12分

15．設(shè)向量為直角坐標平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量．若向量，