2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

上海卷   數(shù)學（文史類）

一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空填對得4分，否則一律得零分。

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分。

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三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

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一、(第1題至笫12題)

1. 4   2. 2   3.    4.    5. 3    6.π    7.

8. 5   9. 0   10.   11.－1<b<1   12. 4

二、(第13題至笫16題)

13. C    14. A    15. A    16. D

 

1、已知，集合，若, 則實數(shù)。

2、已知兩條直線若，，則2.

3、若函數(shù)＝（＞0，且≠1）的反函數(shù)的圖象過點（2，－1），則原函數(shù)的圖象過點(－1，2)，∴ ，＝．

4、計算：。

5、若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，其中，則m=2，z=3i，。

6、函數(shù)=sin2x，它的最小正周期是π。

7、已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是.

8、方程的解滿足，解得x=5.

9、已知實數(shù)滿足，在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是0.

10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是.

11、曲線得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是[－1，1].

12、如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對是點的“距離坐標”，根據(jù)上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點可以在兩條直線相交所成的四個區(qū)域內(nèi)各找到一個，所以滿足條件的點的個數(shù)是4個.

 

二、選擇題：

13. C    14. A    15. A    16. D

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，根據(jù)向量的減法法則知，所以下列結(jié)論中錯誤的是C．

14、如果，那么，∴ ，選A.

15、若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒有公共點”；若 “這兩條直線沒有公共點”，則 “這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；∴ “這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的充分非必要條件，選A.

16、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”，分情況討論：① 對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12=24個；② 對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個；所以正方體中“正交線面對”共有36個．選D.

 

三、(第17題至笫22題)

17.解：=

   由已知可得sin,

  ∴原式=.

18.解：連接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.

19.解：(1) ∵BC∥B₁C₁, ∴∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角(或它的補角)

     ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

     ∴異面直線B₁C₁與AC所成角為45°.

     (2) ∵AA₁⊥平面ABC,

∠ACA₁是A₁C與平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,

∴AA₁=.

∴三棱錐A₁-ABC的體積V=S_△ABC×AA₁=.

20.解(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

     當n≥2時, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

       ∴=     a_n=2048()^n－1.

     (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,

     ∴T_n=(－n²+23n).

     由T_n<－509,解待n>,而n是正整數(shù),于是,n≥46.

     ∴從第46項起T_n<－509.

21.解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

     又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為

(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x₀,y₀),

由

得

 

y₀=2y－

由,點P在橢圓上,得,

∴線段PA中點M的軌跡方程是.

(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.

當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

則,又點A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積S_△ABC=

于是S_△ABC=

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.

∴S_△ABC的最大值是.    

22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,當x=時, 函數(shù)f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

當1≤c≤2時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+；

當2≤c≤4時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)設0<x₁<x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

     當<x₁<x₂時, g(x₂)>g(x₁), 函數(shù)g(x)在[,+∞)上是增函數(shù)；

     當0<x₁<x₂<時, g(x₂)>g(x₁), 函數(shù)g(x)在(0, ]上是減函數(shù).

   當n是奇數(shù)時,g(x)是奇函數(shù),

函數(shù)g(x) 在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù).

   當n是偶數(shù)時, g(x)是偶函數(shù),

   函數(shù)g(x)在(－∞,－)上是減函數(shù), 在[－,0]上是增函數(shù).