科目：數(shù)學(xué)（文史類）
（試題卷）
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡和該試題卷的封面上，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號和科目。
2．考生作答時，選擇題和非選擇題均須作在答題卡上，在草稿紙和本試卷上答題無效�？忌诖痤}卡上按如下要求答題：
（1）選擇題部分請用２Ｂ鉛筆把應(yīng)題目的答案標(biāo)號所在方框涂黑，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡。
（2）非選擇題部分（包括填空題和解答題）請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效。
（3）保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔、不折疊。
3．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
4. 本試卷共5頁。如缺頁，考生須聲明，否則后果自負(fù)。
姓 名
準(zhǔn)考證號
絕密★啟用前
數(shù) 學(xué)（文史類）
本試題卷他選擇題和非選擇題（包括填空題和解答題）兩部分. 選擇題部分1至2頁. 非選擇題部分3至5頁. 時量120分鐘. 滿分150分.
參考公式:
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互獨立，那么
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率是
球的體積公式 ,球的表面積公式，其中表示球的半徑
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．函數(shù)的定義域是
A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)
2．已知向量若時，∥；時，，則
A． B.
C. D.
3. 若的展開式中的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值是
A．-2 B. C. D. 2
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°則該截面的面積是
A．π B. 2π C. 3π D.
5．“a=1”是“函數(shù)在區(qū)間［1，＋∞）上為增函數(shù)”的
A．充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6．在數(shù)字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是
A．6 B. 12 C. 18 D. 24
7．圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是
A．36 B. 18 C. D.
8．設(shè)點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是
A．2π B. π C. D.
9．過雙曲線M：的左頂點A作斜率為1的直線l,若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B、C，且，則雙曲線M的離心率是
A． B. C. D.
A． B.
C. D.
二．填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題上部 對應(yīng)題號的橫上.
11. 若數(shù)列滿足：，2，3….則 .
12. 某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是 分.
13. 已知則的最小值是 .
14. 過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有 條.
15. 若是偶函數(shù)，則a= .
三．解答題：本大題共６小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分１２分）
已知求θ的值.
17.（本小題滿分１２分）
某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡稱安檢). 若安檢不合格，則必須整改. 若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強制關(guān)閉. 設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算(結(jié)果精確到0.01)：
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
(Ⅱ)某煤礦不被關(guān)閉的概率；
(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.
18.（本小題滿分１4分）
Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
19.（本小題滿分14分）
已知函數(shù).
（Ｉ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.
20.（本小題滿分14分）
在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù).
（Ⅰ）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；
（Ⅱ）令，證明，n=1,2,….
21.（本小題滿分14分）
已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
（Ⅰ）當(dāng)軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）若且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.
1－10：DCDAABCBCDC
11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1．函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.
2．向量若時，∥，∴ ；時，，，選C.
3．的展開式中的系數(shù)=x3， 則實數(shù)的值是2，選D
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.
5．若“”，則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù)；而若在區(qū)間上為增函數(shù)，則0≤a≤1，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，選A.
6．在數(shù)字1，2，3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.
7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.
8．設(shè)點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.
9．過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.
10．如圖，OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，
由圖知，x<0，當(dāng)x=－時，即=－，P點在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.
二．填空題：
11.； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .
11．?dāng)?shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴ .
12．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分.
13．已知，如圖畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.
14．過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。
15．是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。
16. 解 由已知條件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，從而.
17. 解 （Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
（Ⅱ）解法一 某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.
解法二 某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.
所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.
(Ⅲ)由題設(shè)（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.
18. 解法一�。á瘢┻B結(jié)AC、BD，設(shè).
由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
所以
于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標(biāo)是（0，－，0），，
，設(shè)是平面QAD的一個法向量，由
得.
取x=1，得.
所以點P到平面QAD的距離.
解法二 （Ⅰ）取AD的中點，連結(jié)PM，QM.
因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.
從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.
因為，
所以.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)連結(jié)OM，則.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點P到平面QAD的距離.
在直角△PMO中，.
即點P到平面QAD的距離是.
19. 解�。á瘢┯深}設(shè)知.
令.
當(dāng)（i）a>0時，
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
（i i）當(dāng)a＜0時，
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；
若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.
因為線段AB與x軸有公共點，所以.
即.所以.
故.
解得�。�1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].
20. 解 （Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因為，
所以.
又因為，
所以
=.
綜上，.
21. 解 （Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為
x=1，從而點A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.
因為點A在拋物線上，所以，即.
此時C2的焦點坐標(biāo)為（，0），該焦點不在直線AB上.
（Ⅱ）解法一 當(dāng)C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.
由消去y得. ……①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.
所以，且
.
從而.
所以，即.
解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當(dāng)時，直線AB的方程為；
當(dāng)時，直線AB的方程為.
解法二 當(dāng)C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程
為.
由消去y得. ……①
因為C2的焦點在直線上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.
從而＝. 解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當(dāng)時，直線AB的方程為；
當(dāng)時，直線AB的方程為.
解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②
且直線AB的方程是,
所以. ……③
又因為，所以. ……④
將①、②、③代入④得，即.
當(dāng)時，直線AB的方程為；
當(dāng)時，直線AB的方程為.
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com