絕密★啟用前

2006 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù) 學(xué)（理工類） （北京卷）

本試卷分第 I卷（選擇題）和第 II卷（非選擇題）兩部分，第 I卷 1 至2 頁(yè),第 II卷 3 至 9 頁(yè)，

共 150 分�？荚嚂r(shí)間 120 分鐘。考試結(jié)束。將本試卷和答題卡一并交回。

第 I 卷（選擇題共 40 分）

注意事項(xiàng)：

1．  答第 I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。

一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求 的一項(xiàng)。

試題詳情

試題詳情

二、填空題：本大題共 6 小題，每小 題 5 分，共 30 分。把答

試題詳情

一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分）

（1）D （2）C （3）B （4）A

（5）C （6）A （7）D （8）C

二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）

（9）    （10）－14    （11）    （12）
（13）            （14）    

三、解答題（本大題共 6 小題，共 80 分）

（15）（共 12 分）

解：（Ⅰ）由 得，

故在定義域?yàn)?br> （Ⅱ）因?yàn)椋�且是第四象限的�?

  所以

 故

          .

（16）（共 13 分）

解法一：

（Ⅰ）由圖象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.

(Ⅱ)
由
得

解得

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)設(shè)

又
所以 

由,
即
得,
所以.
（17）（共 17 分）

解法一：

（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，

∴AC⊥PB.

（Ⅱ）連接BD，與 AC 相交于 O，連接 EO.

∵ABCD 是平行四邊形，

∴O 是 BD 的中點(diǎn)

又 E 是 PD 的中點(diǎn)

∴EO∥PB.

又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC.

（Ⅲ）取 BC 中點(diǎn) G，連接 OG，則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為,=.

又

是二面角的平面角
 
 
二面角E-AC-B的大小為.
（18）（共 13 分）

解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為 A，B，C，

則

（Ⅰ）應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率

應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率

  
   .

（Ⅱ）因?yàn)?所以

   
故,
即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大.
(19）（共 14 分）

解法一：

（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)

半軸長(zhǎng)

又半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng)
所以 W 的方程為, 

（Ⅱ）設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為,

當(dāng) AB⊥x軸時(shí),從而從而
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得

故 
所以  

                
             
             
              .
又因?yàn)?所以,從而
綜上,當(dāng)AB⊥軸時(shí), 取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為，則, ,則

令
則且所以
    


當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)””成立.

所以、的最小值是2.
（20）（共 14 分）

（Ⅰ）解：,（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始，該數(shù)列是,,

即自第 20 項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時(shí)，的極限

不存在.

當(dāng)時(shí), ,所以
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
 假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于,所以對(duì)于任意的n，都有,從而
 當(dāng)時(shí), ;
 當(dāng) 時(shí),
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) ，這與()
矛盾. 從而必有零項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0，,  , 即

所以絕對(duì)差數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

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2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)    學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）（編輯：ahuazi）

    本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至9頁(yè)，共150分。考試時(shí)間120分鐘。考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷（選擇題  共40分）

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

（1）    在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（D）

（A）第一象限                    （B）第二象限

（C）第三象限                    （D）第四象限

解：故選D

（2）若與都是非零向量，則“”是“”的（C）

       （A）充分而不必要條件           （B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件               （D）既不充分也不必要條件

解：ÛÛÛ

故選C

（3）在這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（B）

       （A）36個(gè)                      （B）24個(gè)

（C）18個(gè)                      （D）6個(gè)

解：依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：（1）3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法（2）3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有，故共有＋＝24種方法，故選B

（4）平面的斜線交于點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（A）

     （A）一條直線                    （B）一個(gè)圓

（C）一個(gè)橢圓                    （D）雙曲線的一支

解：設(shè)與¢是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且斜線垂直這個(gè)平面，由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過(guò)定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線上，故選A

（5）已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（C）

    （A）                          （B）

（C）                            （D）

解：依題意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<，又當(dāng)x<1時(shí)，（3a－1）x＋4a>7a－1，當(dāng)x>1時(shí)，log_ax<0，所以7a－1³0解得x³故選C

（6）在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有（A）

    （A）                     （B）

（C）                     （D）

解：|>1<1\ |<|x₁－x₂|故選A

（7）設(shè)，則等于（D）

    （A）                      （B）

（C）                         （D）

解：依題意，為首項(xiàng)為2，公比為8的前n＋4項(xiàng)求和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D

（8）下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則20，30；35，30；55，50 （C）

（A）

（B）

（C）

（D）

解：依題意，有x₁＝50＋x₃－55＝x₃－5，\x₁<x₃，同理，x₂＝30＋x₁－20＝x₁＋10

\x₁<x₂，同理，x₃＝30＋x₂－35＝x₂－5\x₃<x₂故選C

絕密★啟用前

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)    學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事項(xiàng)：

1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上

2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。

（9）的值等于

解：＝＝

（10）在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

解：令得r＝1故 的系數(shù)為

＝－14

（11）若三點(diǎn)共線，則的值等于

解：， ，依題意，有（a－2）?（b－2）－4＝0

即ab－2a－2b＝0所以＝

（12）在中，若，則的大小是.

解： Ûa:b:c＝5:7:8設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小為.

（13）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值等于,最大值等于.

解：畫出可行域，如圖所示：

易得A（2，2），OA＝

B（1，3），OB＝

C（1，1），OC＝

故|OP|的最大值為，

最小值為.

（14）已知三點(diǎn)在球心為，半徑為的球面上，，且，那么兩點(diǎn)的球面距離為，球心到平面的距離為.

解：如右圖，因?yàn)�，所以AB是截面

的直徑，又AB＝R，所以△OAB是等邊三角形，

所以ÐAOB＝，故兩點(diǎn)的球面距離為，

于是ÐO₁OA＝30°，所以球心到平面的距離

OO₁＝Rcos30°＝.

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

（15）（本小題共12分）

       已知函數(shù)，

    （Ⅰ）求的定義域；

    （Ⅱ）設(shè)是第四象限的角，且，求的值.

解：（1）依題意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，

即的定義域?yàn)椋鹸|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝

（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa

由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝\＝－2sina＋2cosa

＝

（16）（本小題共13分）

       已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

解：（1）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)xÎ（－¥，1）時(shí)，>0，當(dāng)xÎ（1，2）時(shí)，<0，當(dāng)xÎ

（2，＋¥）時(shí)，>0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極大值，

即x₀＝1

（2）＝3ax²＋2bx＋c，依題意有：，＝5即有

3a＋2b＋c＝0 ，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5解得a＝2，b＝－9，c＝12

（17）（本小題共14分）

     如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

解：（1）由平面可得PA^AC

又，所以AC^平面PAB，所以

（2）如圖，連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，則

EO是△PDB的中位線，\EOPB

\PB平面

（3）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則

EF是△PAD的中位線，\EFPA又平面，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位線，\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角與二面角E－AC－D互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135°.

（18）（本小題共13分）

       某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

       方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)；

       方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò).

       假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.

    （Ⅰ）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；

    （Ⅱ）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.（說(shuō)明理由）

解：設(shè)三門考試課程考試通過(guò)的事件分別為A，B，C，相應(yīng)的概率為a，b，c

（1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB＋AC＋BC＋ABC，設(shè)其概率為

P₁，則P₁＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc

設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為P₂，則P₂＝ab＋ac＋bc

（2）P₁－P₂＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc

＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕>0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率.

（19）（本小題共14分）

       已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.

解：（1）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： 

（x>0）

（2）    當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝x₀，此時(shí)A（x₀，），

B（x₀，－），＝2

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：

（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°

依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

解得|k|>1又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

綜上可知的最小值為2

（20）（本小題共14分）

      在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對(duì)差數(shù)列”.

（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；

（Ⅱ）若“絕對(duì)差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

解：（Ⅰ）,（答案不惟一）

（Ⅱ）因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始，該數(shù)列是,,

即自第 20 項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時(shí)，的極限

不存在.

當(dāng)時(shí), ,所以
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
 假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于,所以對(duì)于任意的n，都有,從而
 當(dāng)時(shí), ;
 當(dāng) 時(shí),
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) ，這與()
矛盾. 從而必有零項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0，,  , 即

所以絕對(duì)差數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).