.(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的整點（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)為.（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前r項和為，數(shù)列的前r項和,是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的整點（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)為.（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前r項和為，數(shù)列的前r項和,是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

(本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）

所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的整點（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均

為整數(shù)的點）的個數(shù)為.

（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前_r項和為，數(shù)列的前_r項和,

是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，

求出m的值，若不存在，請說明理由。

（本小題滿分14分）  已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．

（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．