（2009•濰坊二模）已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）當(dāng)a=0，b=3時(shí)，求函數(shù)，f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)

x2

-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范圍
（Ⅲ）若0＜a＜b，點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））分別是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且0A⊥OB，其中0為原點(diǎn)，求a+b的取值范圍．

（2013•麗水一模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x(1+ae-2x+2)．
（Ⅰ）若a=1，記g（x）=f′（x），求證：當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，0≤g(x)＜

1

2

；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且x₁＜1＜x₂，若f(xi)＜

4

3

（i=1，2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）

設(shè)x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若

.

x1

.

+

.

x2

.

=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當(dāng)x₂=a時(shí)，求證：

.

g(x)

.

≤

1

12

a(3a+2)2．

（2013•未央?yún)^(qū)三模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

3

8

時(shí)，判斷方程f（x）=-

1

4

的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

已知x＞0，函數(shù)f(x)=lnx-

ax

x+1

（1）當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)（設(shè)為x₁和x₂）時(shí)，求證：f(x1)+f(x2)≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]．