題目列表(包括答案和解析)
若函數(shù),則當(dāng)之間大小關(guān)系為( )
A. B.
C. D.與或a有關(guān),不能確定
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時,,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,,令得
當(dāng)變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;
當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
武漢市教育科學(xué)研究院命制 2009.4.16
一、選擇題
1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.A 9.B 10.D
二、填空題
11.7 12.(2,3) 13. 14. 15.
三、解答題
16.解:(1)由
由知:,于是可知
得.………………………………………………………(6分)
(2)由及
而在上單調(diào)遞增
可知滿足:時單調(diào)遞增
于是在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………(12分)
17.解:(1)摸球3次就停止,說明前三次分別都摸到了紅球,
則……………………………………………………………(5分)
(2)隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3.
則,
,
.
隨機(jī)變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數(shù)學(xué)期望為:
.………………………(12分)
18.解:(1)在四棱錐中,底面,則
若,則和面內(nèi)相交的兩直線均垂直
面,故.
在底面的平行四邊形中,令
在中,.
于是
在中,由可知:
求得或
依題意,于是有.……………………………………………(6分)
(2)過點(diǎn)作,連結(jié)
.
又,面
面
由三垂線定理知:為所求二面角的平面角
過點(diǎn)
易知
又
在中
故所求二面角的大小為45.………………………………………………(12分)
19.解:(1)
故軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.
設(shè)其方程為:
.
故軌跡方程為.…………………………………………(6分)
(2)由
方程有兩個正根.
設(shè),由條件知.
而
即
整理得,即
由(1)知,即顯然成立.
由(2)、(3)知
而.
.
故的取值范圍為……………………(13分)
20.解:(1)由,
求導(dǎo)數(shù)得到:
,故在有唯一的極值點(diǎn)
,且知
故上有兩個不等實(shí)根需滿足:
故所求m的取值范圍為.………………………………………(6分)
(2)又有兩個實(shí)根
則
兩式相減得到:
于是
,故
要證:,只需證:
只需證:
令,則
只需證明:在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數(shù),則
從而可知,即(*)式成立,從而原不等式得證.……………
……………………………………………………………(13分)
21.解:(1)經(jīng)過計(jì)算可知:
.
求得.…………………………………………(4分)
(2)由條件可知:.…………①
類似地有:.…………②
①-②有:.
即:.
因此:
即:故
所以:.…………………………………………(8分)
(3)假設(shè)存在正數(shù),使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù).
則由(2)可知:…………③
由,及可知.
當(dāng)時,為整數(shù),利用,結(jié)合③式,反復(fù)遞推,可知,,,,…均為整數(shù).
當(dāng)時,③變?yōu)椤?/p>
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù),為整數(shù)
時,結(jié)論顯然成立,假設(shè)時結(jié)論成立,這時為偶數(shù),為整數(shù),故為偶數(shù),為整數(shù),所以時,命題成立.
故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述,的取值集合是.………………………………………(13分)
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