9.若函數(shù).則當(dāng)之間大小關(guān)系為A. B.C. D.與或a有關(guān).不能確定 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

若函數(shù),則當(dāng)之間大小關(guān)系為(  )

A.                  B.

C.                  D.與a有關(guān),不能確定

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已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時,,則。

依題意得:,即    解得

第二問當(dāng)時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

(Ⅰ)當(dāng)時,,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當(dāng)時,,令

當(dāng)變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

,,!上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;

當(dāng)時, 上單調(diào)遞增!最大值為。

綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時,

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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某科研小組對熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究,在對某發(fā)電廠A號機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn):若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為a噸,在正常狀態(tài)下,通過自動傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤x噸,理論上可以共生產(chǎn)電能x3-x+10千瓦,而由于實(shí)際添加量x與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a存在誤差,實(shí)際上會導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦,最后實(shí)際產(chǎn)生的電能為f(x)千瓦.
(1)試寫出f(x)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)0<a<1時,求f(x)的極大值.
(2)該科研小組決定調(diào)整設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a,控制添加量x,實(shí)現(xiàn)對最終生產(chǎn)的電能f(x)的有效控制的科學(xué)實(shí)驗(yàn),若某次實(shí)驗(yàn)中a∈[
1
2
,1),x∈[
1
2
,
3
2
]
(單位:噸),用電高峰期間,要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦,否則供電不正常.試問這次實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥?shí)現(xiàn)這個目標(biāo)?請說明理由.

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某科研小組對熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究,在對某發(fā)電廠A號機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn):若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為a噸,在正常狀態(tài)下,通過自動傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤x噸,理論上可以共生產(chǎn)電能x3-x+10千瓦,而由于實(shí)際添加量x與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a存在誤差,實(shí)際上會導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦,最后實(shí)際產(chǎn)生的電能為f(x)千瓦.
(1)試寫出f(x)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)0<a<1時,求f(x)的極大值.
(2)該科研小組決定調(diào)整設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a,控制添加量x,實(shí)現(xiàn)對最終生產(chǎn)的電能f(x)的有效控制的科學(xué)實(shí)驗(yàn),若某次實(shí)驗(yàn)中數(shù)學(xué)公式(單位:噸),用電高峰期間,要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦,否則供電不正常.試問這次實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥?shí)現(xiàn)這個目標(biāo)?請說明理由.

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某科研小組對熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究,在對某發(fā)電廠A號機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn):若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為a噸,在正常狀態(tài)下,通過自動傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤x噸,理論上可以共生產(chǎn)電能x3-x+10千瓦,而由于實(shí)際添加量x與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a存在誤差,實(shí)際上會導(dǎo)致電能損耗2|x-a|千瓦,最后實(shí)際產(chǎn)生的電能為f(x)千瓦.
(1)試寫出f(x)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)0<a<1時,求f(x)的極大值.
(2)該科研小組決定調(diào)整設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)a,控制添加量x,實(shí)現(xiàn)對最終生產(chǎn)的電能f(x)的有效控制的科學(xué)實(shí)驗(yàn),若某次實(shí)驗(yàn)中(單位:噸),用電高峰期間,要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于9千瓦,否則供電不正常.試問這次實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥?shí)現(xiàn)這個目標(biāo)?請說明理由.

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武漢市教育科學(xué)研究院命制                                             2009.4.16

一、選擇題

1.B       2.C       3.D      4.A      5.B       6.C       7.A      8.A      9.B       10.D

二、填空題

11.7             12.(2,3)         13.          14.        15.

三、解答題

16.解:(1)由

                  

                  

由知:,于是可知

得.………………………………………………………(6分)

(2)由及

而在上單調(diào)遞增

可知滿足:時單調(diào)遞增

于是在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………(12分)

17.解:(1)摸球3次就停止,說明前三次分別都摸到了紅球,

則……………………………………………………………(5分)

(2)隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3.

則,

,

.

隨機(jī)變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數(shù)學(xué)期望為:

.………………………(12分)

18.解:(1)在四棱錐中,底面,則

若,則和面內(nèi)相交的兩直線均垂直

面,故.

在底面的平行四邊形中,令

在中,.

于是

在中,由可知:

求得或

依題意,于是有.……………………………………………(6分)

(2)過點(diǎn)作,連結(jié)

.

又,面

由三垂線定理知:為所求二面角的平面角

過點(diǎn)

易知

在中

故所求二面角的大小為45.………………………………………………(12分)

19.解:(1)

故軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)其方程為:

.

故軌跡方程為.…………………………………………(6分)

(2)由

方程有兩個正根.

設(shè),由條件知.

整理得,即

由(1)知,即顯然成立.

由(2)、(3)知

而.

.

故的取值范圍為……………………(13分)

20.解:(1)由,

求導(dǎo)數(shù)得到:

,故在有唯一的極值點(diǎn)

,且知

故上有兩個不等實(shí)根需滿足:

故所求m的取值范圍為.………………………………………(6分)

(2)又有兩個實(shí)根

兩式相減得到:

于是

,故

要證:,只需證:

只需證:

令,則

只需證明:在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數(shù),則

從而可知,即(*)式成立,從而原不等式得證.……………

……………………………………………………………(13分)

21.解:(1)經(jīng)過計(jì)算可知:

.

求得.…………………………………………(4分)

(2)由條件可知:.…………①

類似地有:.…………②

①-②有:.

即:.

因此:

即:故

所以:.…………………………………………(8分)

(3)假設(shè)存在正數(shù),使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù).

則由(2)可知:…………③

由,及可知.

當(dāng)時,為整數(shù),利用,結(jié)合③式,反復(fù)遞推,可知,,,,…均為整數(shù).

當(dāng)時,③變?yōu)椤?/p>

我們用數(shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù),為整數(shù)

時,結(jié)論顯然成立,假設(shè)時結(jié)論成立,這時為偶數(shù),為整數(shù),故為偶數(shù),為整數(shù),所以時,命題成立.

故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述,的取值集合是.………………………………………(13分)

 

 


同步練習(xí)冊答案