已知函數(shù)是在上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù).若在x＞0上恒成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）2＞
n
2(n+1)(n+2)
（n∈N+）．

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已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，若數(shù)列{
n
f(n)
}（n∈N）的前n項(xiàng)和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=（　�。�
A、
1
2
B、1
C、-2
D、-
3
2

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已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）2＞
n
2(n+1)(n+2)
（n∈N+）．

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已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：ln22+ln32+ln42+…+ln（n+1）2＞（n∈N+）．

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一、選擇題：（每小題5分，共60分）

ADBBC    CDCDC  BD

二、填空題：（每小題4分，共16分）

13. .

14、33

15、

16. ① ③ ⑤

三、解答題

17、【解】由題意，得

．……4分

（1）∵，，∴，

∴． ……8分

（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為，而平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

∴且，即且，

∵，∴，即．……12分

 

18、【解】解法一（I）證明：

連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點(diǎn)，

又D是BC的中點(diǎn)，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………6分

設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………8分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點(diǎn)H，

則CH的長度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離. ……………………………10分

由△CDH∽△B1DB，得

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解法二：
建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，如圖，
   （I）證明：
連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
設(shè)A1A
= AB = 1，
則
 …………………………3分
，
 ……………………………………4分
   （II）解：， ，
設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………6分
設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………8分
   （III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
取其單位法向量
∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離 ……………………12分
 
19、【解】（1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知：
． 
∴，解得或（舍去），即袋中原有3個(gè)白球．……4分
（2）由題意，的可能取值為1，2，3，4，5，
，，，
，． 
所以，取球次數(shù)的分布列為：
1
2
3
4
5
P
 
 
 
 
……8分
（3）因?yàn)榧紫热。约字挥锌赡茉诘?次，第3次和第5次取球，記“甲取到
白球”的事件為A，則，
因?yàn)槭录?sub>兩兩互斥，所以
．……12分
 
20、【解】（1）設(shè)，則，∴，
又為奇函數(shù)，
∴函數(shù)的解析式為    ……4分
（II）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a符合題意，先求導(dǎo)，
①當(dāng)a≥時(shí)，由于．則≥0．
∴函數(shù)是上的增函數(shù)，
∴，則（舍去）．……8分
②當(dāng)時(shí)，≤≤；
．則
在上遞減，在上遞增，
∴，解得，
綜合（1）（2）可知存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值3．12分
 
21【解】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，，整理得，
∴{an}是公比為a的等比數(shù)列．……4分
（2） ，．
（i）當(dāng)a＝2時(shí)，，，
兩式相減得．
∴．……8分
（ii），∴n為偶數(shù)時(shí)，，n為奇數(shù)時(shí)，，若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)．
（），當(dāng)時(shí)，，
∴，又，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
故存在正整數(shù)m＝8，使得對(duì)任意正整數(shù)n都有≥．……12分
 
22、【解】（1）證明：由g(x)=′(x)=
      由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x)
＞0在x＞0上恒成立.
      從而g(x)= ………………………………4分
 
（2）由（1）知g(x)=
      在x1＞0,x2＞0時(shí)，  
于是＜
兩式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) …………………………………………8分
（3）由（2）中可知：
g(x)=
 
 由數(shù)學(xué)歸納法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí),
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…
+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)
(n≥2)恒成立. ……………10分
設(shè)f(x)=xlnx，則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí)
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）……（*）恒成立.
令…+=…+ 
 由＜…+
＞…+ ………………………………12分
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1-…+xn)
(∵ln(1+x)＜x)
＜-  
(**)………………………13分
由（**）代入（*）中，可知：
…+
于是：…+…………………14分
 
 
 
 
		

	
	

		



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